Ist es bei drei gegebenen Vektoren , und möglich, dass die Korrelationen zwischen a und b , a und c und b und c alle negativ sind? Dh ist das möglich?b c a b a c b c
correlation
correlation-matrix
Antti A
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Antworten:
Es ist möglich, wenn der Vektor 3 oder größer ist. Beispielsweise
Die Korrelationen lauten
Wir können beweisen, dass dies für Vektoren der Größe 2 nicht möglich ist:
Die Formel ist sinnvoll: Wenn größer als , muss größer als , damit die Korrelation negativ wird.a 2 b 1 b 1a1 a2 b1 b1
Ähnliches gilt für Korrelationen zwischen (a, c) und (b, c)
Es ist klar, dass alle diese drei Formeln nicht gleichzeitig gelten können.
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Ja, sie können.
Angenommen, Sie haben eine multivariate Normalverteilung . Die einzige Einschränkung für Σ ist, dass es sich um ein positives Semidefinit handeln muss.X∈R3,X∼N(0,Σ) Σ
Nehmen wir also das folgende BeispielΣ=⎛⎝⎜1−0.2−0.2−0.21−0.2−0.2−0.21⎞⎠⎟
Seine Eigenwerte sind alle positiv (1,2, 1,2, 0,6), und Sie können Vektoren mit negativer Korrelation erstellen.
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Beginnen wir mit einer Korrelationsmatrix für 3 Variablen
Wenn zum Beispiel , sind die Werte von r auf 2 r ≥ r 2 + 1 beschränkt , wodurch r erzwungen wirdp=q=−1 r 2r≥r2+1 r=1 p=q=−12 r 2±3√4
Beantwortung der interessanten Folgefrage von @amoeba: "Was ist die niedrigstmögliche Korrelation, die alle drei Paare gleichzeitig haben können?"
Sei , finde die kleinste Wurzel von 2 x 3 - 3 xp=q=r=x<0 2x3−3x2+1 −12
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Eine einfache R-Funktion, um dies zu untersuchen:
In Abhängigkeit von
n
,f(n)
beginnt bei 0, wird bein = 3
(mit typischen Werten um 0,06) ungleich Null , steigt dann um etwa 0,11 ann = 15
und scheint sich danach zu stabilisieren:Es ist also nicht nur möglich, dass alle drei Korrelationen negativ sind, es scheint auch nicht ungewöhnlich zu sein (zumindest bei gleichmäßigen Verteilungen).
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