Kann eine 3D-Fugenverteilung durch 2D-Ränder rekonstruiert werden?

Angenommen, wir kennen p (x, y), p (x, z) und p (y, z). Ist es wahr, dass die gemeinsame Verteilung p (x, y, z) identifizierbar ist? Dh, es gibt nur ein mögliches p (x, y, z), das über den Rändern liegt?

distributions mathematical-statistics user1466742
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Verwandte: Ist es möglich, ein Paar von Gaußschen Zufallsvariablen zu haben, für die die gemeinsame Verteilung nicht Gaußsch ist? (Das bezieht sich auf das 2D-Gelenk gegen 1D-Ränder, aber die Antwort und die Intuition sind letztendlich die gleichen, und die Bilder in @ Cardinals Antwort sind wunderschön.)

gung - Setzen Sie Monica wieder ein

@gung Die Beziehung ist etwas abgelegen. Die Subtilität hinter dieser Frage ist der Gedanke, dass eine Copula uns zeigt, wie man bivariate Verteilungen mit vorgegebenen Rändern entwickelt. Wenn wir jedoch drei bivariate Marginals für eine trivariate Verteilung angeben, muss diese trivariate Verteilung ziemlich strengen zusätzlichen Einschränkungen unterliegen: Die univariaten Marginals müssen konsistent sein. Die Frage ist dann, ob diese Einschränkungen ausreichen, um die trivariate Verteilung festzulegen. Dies macht es zu einer mehr als zweidimensionalen Frage.

Whuber

@whuber, ich verstehe Sie, um zu sagen, dass 2D-Ränder einschränkender sind als 1D-Ränder, was vernünftig ist. Mein Punkt ist, dass in beiden die Antwort ist, dass Marginals die gemeinsame Verteilung nicht ausreichend einschränken können, und dass die Antwort von Cardinal dort das Problem sehr leicht sichtbar macht. Wenn Sie der Meinung sind, dass dies zu ablenkend ist, kann ich diese Kommentare löschen.

gung - Reinstate Monica

@gung Ich versuche etwas ganz anderes zu sagen und es ist nicht leicht zu sehen (es sei denn, Sie sind sehr gut in 3D-Visualisierungen). Erinnern Sie sich an das Titelbild von Hofstadter's Godel, Escher, Bach ? (Durch Googeln leicht zu finden; vielleicht erweitere ich meine Antwort, um sie aufzunehmen.) Die Existenz dieser zwei verschiedenen Körper mit identischen Sätzen von Projektionen auf die Koordinatenachsen ist ziemlich erstaunlich. Dies fängt die Idee ein, dass ein vollständiger Satz von orthogonalen 2D- "Ansichten" eines 3D-Objekts das Objekt nicht notwendigerweise bestimmt. Das ist der springende Punkt.

Whuber

@Gung erlaube mir, es noch einmal zu versuchen. Ja, die Vorstellung, dass Marginals eine Verteilung nicht vollständig bestimmen, ist beiden Fällen gemeinsam. Die Komplikation bei dieser - die eine, von der ich glaube, dass sie sich von der anderen unterscheidet - ist, dass die Ränder in der gegenwärtigen Situation keineswegs unabhängig sind: Jeder 2D-Rand bestimmt zwei 1D-Ränder sowie eine starke Beziehung zwischen diesen marginals. Konzeptionell könnte diese Frage dann wie folgt umformuliert werden: "Warum sind die Abhängigkeiten in den 2D-Rändern im Sinne der Bestimmung der vollständigen 3D-Verteilung nicht" transitiv "oder" kumulativ "?"

Whuber

Antworten:

No. vielleicht einfachste Gegenbeispiel betrifft die Verteilung von drei unabhängigen Variablen , für die alle acht möglichen Ergebnisse von bis gleich wahrscheinlich sind. Dies macht alle vier Randverteilungen auf einheitlich $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ . $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

Betrachten Sie die Zufallsvariablen die gleichmäßig auf der Menge . Diese haben die gleichen Ränder wie $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ . $(X_1,X_2,X_3)$

Das Cover von Douglas Hofstadter Godel, Escher, Bach Hinweise auf die Möglichkeiten.

Die drei orthogonalen Projektionen (Schatten) jedes dieser Körper auf die Koordinatenebenen sind die gleichen, aber die Körper unterscheiden sich offensichtlich. Obwohl Schatten nicht ganz dasselbe sind wie Randverteilungen, funktionieren sie auf ähnliche Weise , um das 3D-Objekt, das sie wirft , einzuschränken, aber nicht vollständig zu bestimmen .

whuber
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+1 natürlich, aber wenn ich mich recht erinnere, geht das

zurück nach Bernstein und vielleicht sogar noch früher. Ich habe es in der Vergangenheit ausgiebig verwendet, um das Exklusiv-ODER-Logikgatter zu diskutieren, bei dem die Ereignisse, bei denen die Eingänge 1 und die Ausgänge 1 sind, paarweise unabhängige Ereignisse sind (bei Eingängen mit gleicher Wahrscheinlichkeit 0 oder 1), die jedoch nicht voneinander unabhängig sind Ereignisse

Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

Dilip Sarwate

Im gleichen Sinne wie Whubers Antwort,

Betrachten Sie gemeinsam stetige Zufallsvariablen mit Gelenkdichtefunktion $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$ bezeichnet die Standard - Normaldichtefunktion.

$U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ sind ein Beispiel für paarweise unabhängige, aber nicht voneinander unabhängige normale Standard-Zufallsvariablen. Siehe meine Antwort für weitere Details.

$X,Y,Z$ sind voneinander unabhängige normale Standard-Zufallsvariablen, dann sind sie auch paarweise unabhängige Zufallsvariablen, aber ihre gemeinsame Dichte ist

\begin{matrix} (2) & f_{X, Y., Z} (u, v, w) = ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w), u, v, w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$ das ist nicht das gleiche wie die Fugendichte in

(1)

$(1)$ . Nein, wir können die trivariaten gemeinsamen PDF-Dateien nicht aus den bivariaten PDF-Dateien ableiten, selbst wenn die univariaten Randverteilungen normal sind und die Zufallsvariablen paarweise unabhängig voneinander sind.

Dilip Sarwate
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Sie fragen sich im Grunde, ob eine CAT-Rekonstruktion nur mit Bildern entlang der 3 Hauptachsen möglich ist.

Es ist nicht ... sonst ist es das, was sie tun würden. :-) Weitere Literatur finden Sie in der Radon-Transformation .

user541686
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Ich mag die Analogie. Zwei Aspekte sind jedoch problematisch. Eines ist die Logik: Nur weil die Radon-Transformation (oder eine andere Technik) mehr Daten verwendet als die drei Ränder, bedeutet dies logischerweise nicht, dass sie wirklich alle diese Daten benötigt. Ein weiteres Problem ist, dass CT-Scans von Natur aus zweidimensional sind: Sie rekonstruieren einen Festkörper Schicht für Schicht. (Es ist wahr, dass die Radon-Transformation in drei und höheren Dimensionen definiert ist.) Damit kommen sie nicht wirklich auf den Punkt: Wir wissen bereits, dass die univariaten Ränder nicht ausreichen, um eine 2D-Verteilung zu rekonstruieren.

Whuber

@whuber: Ich denke du hast falsch verstanden, was ich gesagt habe ... und 2D vs 3D ist ein roter Hering. Ich habe versucht zu sagen, dass die Inverse der Radon-Transformation für ihre Inversion das volle Integral erfordert (dh wenn Sie sich buchstäblich nur die Inversionsformel ansehen, sehen Sie, dass die Inversion ein Integral über alle Winkel erfordert, keine Summe über d Winkel). Der CAT-Scan sollte dem OP nur helfen, das gleiche Problem wie bei der CT zu erkennen.

user541686

Hier bricht die Logik zusammen: Es ist nicht das gleiche Problem wie beim CT. Ihre Argumentation klingt wie eine Entsprechung von "Jedes Fahrzeug, das ich auf der Straße sehe, verwendet mindestens vier Räder. Daher ist Bodentransport mit weniger als vier Rädern unmöglich, denn wenn es möglich wäre, würden die Menschen weniger Räder verwenden, um Reifenkosten zu sparen. Wenn Sie dies bezweifeln, schauen Sie sich einfach die Pläne für ein Auto an. " Übrigens integriert sich die Transformation, wie sie in einem CT-Scanner implementiert ist, nicht über alle Winkel - das Maß für den verwendeten Winkelsatz ist Null!

Whuber

@whuber: Vergiss das CT Ding für einen Moment. Stimmen Sie dem Rest der Logik zu?

user541686