Produkt von Beta-Distributionen

Ich betrachte die Trigger-Effizienz, was bedeutet, dass ich ein Gerät habe, das bei von Ereignissen ausgelöst wird . Am Ende interessiert mich eine Schätzung der Effizienz die die Wahrscheinlichkeit ist, auf ein zufällig gegebenes Ereignis zu feuern. Unter Verwendung eines Bayes'schen Ansatzes mit einem einheitlichen Prior über kann ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung für als Beta-Verteilung modellieren .n ϵ [ 0 , 1 ] ϵ β ( ϵ ; k + 1 , n - k + 1 $k$$n$$\epsilon$$[0,1]$$\epsilon$$\beta(\epsilon; k+1, n-k+1)$

Nun kommt die Frage: Ich berechne die Effizienz mithilfe von "Bootstrapping", was bedeutet, dass die endgültige Trigger-Effizienz das Produkt zweier Trigger-Effizienzen ist, die beide als Beta-Verteilungen modelliert werden können.

Wie kann ich dieses Produkt der beiden Beta-PDFs für große Werte von und effizient berechnen ? Gibt es eine geschlossene Form des Produkts (AFAIK nicht)? Im Moment mache ich das numerisch, aber das ist ziemlich langsam. n 1 , $k_{1,2}$$n_{1,2}$

Diese Frage hat die Antwort, wie Integrale der Beta-Distribution für große Argumentwerte bewertet werden können, aber dies hilft hier nicht weiter.

Ich hoffe meine Frage ist klar und nicht ganz dumm ...

Nach der Zusammenfassung dieses Papiers ,

Die Dichtefunktion von Produkten zufälliger Beta-Variablen ist eine Meijer die in geschlossener Form ausgedrückt werden kann, wenn die Parameter ganze Zahlen sind.$G$

Ich stelle mir jedoch vor, dass die geschlossene Form viel kombinatorische Berechnung erfordert und daher praktisch nicht nützlich wäre. Der von Ihnen erwähnte langsame numerische Algorithmus ist wahrscheinlich schneller.

Dieses Dokument ist möglicherweise nützlicher, da keine ganzzahligen Parameter erforderlich sind.

Die Verteilung des Produkts unabhängiger Beta-Zufallsvariablen mit Anwendung auf die multivariate Analyse

Ich habe die Zeitung nicht gelesen, aber die Zusammenfassung klingt vielversprechend.