Wird die Stationarität unter einer linearen Kombination bewahrt?

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Stellen Sie sich vor, wir haben zwei Zeitreihenprozesse, die stationär sind und erzeugen: xt,yt .

Ist zt=αxt+βyt , α,βR auch stationär?

Jede Hilfe wäre dankbar.

Ich würde ja sagen, da es eine MA-Vertretung hat.

Ein alter Mann im Meer.
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Warum ist es garantiert MA? Es gibt stabile AR-Prozesse. Wenn Sie jedoch von BIBO-Stabilität sprechen, ist die Summe in beiden Fällen trivial stabil, da Sie die neuen Grenzen berechnen können. Asymptotische Stabilität gilt auch, weil limtzt=αlimtxt+βlimtyt
Steve Cox
Bezogen auf ein gewisses Maß an Ausdehnung: Beachten Sie, dass Sie in der numerischen Analyse einen sogenannten Vorkonditionierer (eine bestimmte lineare Transformation) verwenden, um an Stabilität zu gewinnen. Ich bezweifle, dass die Antwort Ja lautet.
Surb

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Vielleicht überraschend ist dies nicht wahr. (Die Unabhängigkeit der beiden Zeitreihen wird es jedoch wahr machen.)

Ich verstehe "stabil" als " stationär", da diese Wörter offenbar in Millionen von Suchtreffern synonym verwendet werden, darunter mindestens eines auf unserer Website .

Als Gegenbeispiel sei eine nicht konstante stationäre Zeitreihe, für die jedes X t unabhängig von X s , s t ist und deren Randverteilungen um 0 symmetrisch sind . DefinierenXXtXsst,0

Yt=(1)tXt.

! [Abbildung 1: Diagramme von X, Y und (X + Y) / 2 über die Zeit

Diese Darstellungen zeigen Teile der drei in diesem Beitrag behandelten Zeitreihen. wurde als eine Reihe unabhängiger Ziehungen aus einer Standardnormalverteilung simuliert.X

Um zu zeigen, dass stationär ist, müssen wir zeigen, dass die gemeinsame Verteilung von ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , , Y s + t n ) für jedes t 1 < t 2 < < t n gilt nicht abhängig von s . Dies folgt jedoch unmittelbar aus der Symmetrie und Unabhängigkeit des X t . Y(Ys+t1,Ys+t2,,Ys+tn)t1<t2<<tnsXt

Abbildung zeigt einige Kreuzstreudiagramme von Y

Diese verzögerten Streudiagramme (für eine Folge von 512 Werten von ) veranschaulichen die Behauptung, dass die gemeinsamen bivariaten Verteilungen von Y wie erwartet sind: unabhängig und symmetrisch. (Ein "verzögertes Streudiagramm" zeigt die Werte von Y t + s gegen Y t an ; Werte von s = 0 , 1 , 2 sind gezeigt.)YYYt+sYts=0,1,2

Dennoch, die Wahl , haben wirα=β=1/2

αXt+βYt=Xt

für eben und sonstt

αXt+βYt=0.

Da nicht konstant ist, haben diese beiden Ausdrücke offensichtlich unterschiedliche Verteilungen für t und t + 1 , weshalb die Reihe ( X + Y ) / 2 nicht stationär ist. Die Farben in der ersten Abbildung heben diese Nichtstationarität in ( X + Y ) / 2 hervor, indem sie die Nullwerte von den übrigen unterscheiden.Xtt+1(X+Y)/2(X+Y)/2

whuber
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Die Unabhängigkeit der beiden Zeitreihen ist offensichtlich eine ausreichende Bedingung. Aber würde das schwächere Gebot der gemeinsamen Stationarität nicht auch ausreichen?
Dilip Sarwate
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Ja, das stimmt @Dilip. Vielen Dank für diese Beobachtung.
Whuber
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Betrachten Sie den zweidimensionalen Prozess

wt=(xt,yt)

(xt)(yt)f:=f(xt,yt),f:R2R

In @ whubers Beispiel haben wir

wt=(xt,(1)txt)

wtcR

Prob(Xtc,(1)tXtc)={Prob(Xtc,Xtc)t is evenProb(Xtc,Xtc)t is odd

={Prob(Xtc)t is evenProb(cXtc)t is odd

Prob(Xtc,(1)tXtc)={Prob(Xtc)t is evenProb(|Xt|c)t is odd

xt

k>0

Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc)={Prob(Xt+kc)t+k is evenProb(|Xt+k|c)t+k is odd

Für strenge Stationarität müssen wir haben

Prob(Xtc,(1)tXtc)=Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc),t,k

t,ktkt+k

Prob(Xtc,(1)tXtc)=Prob(Xtc)

während

Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc)=Prob(|Xt+k|c)=Prob(|Xt|c)

f(xt,yt)

xtytyt

Erwägen

qt=(xt,θxt),θR

(qt)

Dies ist eine gute Nachricht, da ein Prozess, der vom Index abhängt und streng stationär ist, nicht zu den Modellannahmen gehört, die wir sehr oft treffen müssen. In der Praxis erwarten wir daher bei einer marginalen strengen Stationarität auch bei vorhandener Abhängigkeit eine gemeinsame strenge Stationarität (obwohl wir dies natürlich überprüfen sollten).

Alecos Papadopoulos
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Ich würde ja sagen, da es eine MA-Vertretung hat.

Eine Beobachtung. Ich denke, dass eine MA-Vertretung schwache Stationarität impliziert, nicht sicher, ob sie starke Stationarität impliziert.

oneloop
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Zu "Ich kann es mir nicht vorstellen": Bitte sehen Sie sich meine Antwort für ein Gegenbeispiel an.
whuber
oneloop, entfernen Sie den Teil, der sich auf die strikte Stationarität bezieht, und lassen Sie den Teil, der sich auf die schwache Stationarität bezieht. Ich gebe dir eine +1, da es mir auch geholfen hat. ;)
Ein alter Mann im Meer.
@Anoldmaninthesea. So was?
Oneloop
ja genau so. MA-Repräsentation impliziert in der Tat schwache Stationarität.
Ein alter Mann im Meer.
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Dies wird automatisch als minderwertig markiert, wahrscheinlich weil es so kurz ist. Derzeit ist es eher ein Kommentar als eine Antwort nach unseren Maßstäben. Können Sie es erweitern? Sie können es auch in einen Kommentar verwandeln.
gung - Wiedereinsetzung von Monica