Ich versuche, eine Zeitreihe zu modellieren und vorherzusagen, die eher zyklisch als saisonal ist (dh es gibt saisonale Muster, aber nicht mit einem festen Zeitraum). Dies sollte mithilfe eines ARIMA-Modells möglich sein, wie in Abschnitt 8.5 der Prognose erwähnt: Grundsätze und Praxis :

Der Wert von ist wichtig, wenn die Daten Zyklen zeigen. Um zyklische Vorhersagen zu erhalten, ist es erforderlich, zusammen mit einigen zusätzlichen Bedingungen für die Parameter zu haben. Bei einem AR (2) -Modell tritt ein zyklisches Verhalten auf, wenn .$p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

Was sind diese zusätzlichen Bedingungen für die Parameter im allgemeinen ARIMA-Fall (p, d, q)? Ich konnte sie nirgendwo finden.

Einige grafische Intuition

In AR-Modellen kommt das zyklische Verhalten von komplexen konjugierten Wurzeln zum charakteristischen Polynom. Um zunächst die Intuition zu vermitteln, habe ich die folgenden Impulsantwortfunktionen auf zwei beispielhafte AR (2) -Modelle aufgetragen.

1. Ein anhaltender Prozess mit komplexen Wurzeln.
2. Ein anhaltender Prozess mit echten Wurzeln.

Für sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms wobei Eigenwerte der unten definierten Matrix sind. Mit einem konjugiert komplexen Eigenwerte und ˉ & lgr; = r e - i ω t , die r die Steuerelemente Dämpfungs (wobei r ∈ [ 0 , 1 ) ) und ω steuert die Frequenz des Kosinus Welle.$j=1\,\ldots, p$$\frac{1}{\lambda_j}$$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$A$$\lambda = r e^{i \omega t}$$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$$r$$r \in [0, 1)$$\omega$

Detailliertes AR (2) Beispiel

Nehmen wir an, wir haben den AR (2):

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

Sie können jedes AR (p) als VAR (1) schreiben . In diesem Fall lautet die VAR (1) -Darstellung:

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ Matrix$A$regelt die Dynamik von$X_t$und damit$y_t$. Die charakteristische Gleichung der Matrix$A$ ist: $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ Die Eigenwerte von$A$ sind: $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ Die Eigenvektoren von$A$sind: $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Man beachte, dass $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$ . Bilden der Eigenwertzerlegung und Erhöhen von $A$ auf die $k$ te Potenz.

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

Ein realer Eigenwert $\lambda$ führt zu einem Abfall, wenn Sie $\lambda^k$ erhöhen . Eigenwerte mit imaginären Komponenten ungleich Null führen zu zyklischem Verhalten.

Eigenwerte mit imaginärem Komponentenfall: $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

Im AR (2) -Kontext haben wir komplexe Eigenwerte, wenn $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$ . Da $A$ real ist, müssen sie paarweise vorliegen, die komplexe Konjugate voneinander sind.

Nach Kapitel 2 von Prado und West (2010) sei

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

Sie können die Vorhersage $\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$ anzeigen, die gegeben ist durch:

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

Wenn Sie locker sprechen und die komplexen Konjugate hinzufügen, wird ihre imaginäre Komponente aufgehoben, sodass Sie eine einzige gedämpfte Kosinuswelle im Raum reeller Zahlen erhalten. (Beachten Sie, dass wir für die Stationarität $0 \leq r < 1$ haben müssen .)

Wenn Sie $r$ , $\omega$ , $a_t$ , $\theta_t$ finden möchten , beginnen Sie mit der Euler-Formel, dass $re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$ , wir können schreiben:

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

Blinddarm

Hinweis Verwirrende Terminologiewarnung! Beziehung des charakteristischen Polynoms von A zum charakteristischen Polynom von AR (p)

Ein weiterer Zeitreihen-Trick besteht darin , den AR (p) mit dem Verzögerungsoperator wie folgt zu schreiben:

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

Verweise

Prado, Raquel und Mike West, Zeitreihen: Modellierung, Berechnung und Inferenz , 2010