Bedingungen für das zyklische Verhalten des ARIMA-Modells

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Ich versuche, eine Zeitreihe zu modellieren und vorherzusagen, die eher zyklisch als saisonal ist (dh es gibt saisonale Muster, aber nicht mit einem festen Zeitraum). Dies sollte mithilfe eines ARIMA-Modells möglich sein, wie in Abschnitt 8.5 der Prognose erwähnt: Grundsätze und Praxis :

Der Wert von ist wichtig, wenn die Daten Zyklen zeigen. Um zyklische Vorhersagen zu erhalten, ist es erforderlich, zusammen mit einigen zusätzlichen Bedingungen für die Parameter zu haben. Bei einem AR (2) -Modell tritt ein zyklisches Verhalten auf, wenn .pp2ϕ12+4ϕ2<0

Was sind diese zusätzlichen Bedingungen für die Parameter im allgemeinen ARIMA-Fall (p, d, q)? Ich konnte sie nirgendwo finden.

MånsT
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Haben Sie sich überhaupt mit komplexen Wurzeln des Polynoms ? Es scheint, als ob dies das ist, worauf sich das Zitat bezieht. ϕ(B.)
Jason

Antworten:

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Einige grafische Intuition

In AR-Modellen kommt das zyklische Verhalten von komplexen konjugierten Wurzeln zum charakteristischen Polynom. Um zunächst die Intuition zu vermitteln, habe ich die folgenden Impulsantwortfunktionen auf zwei beispielhafte AR (2) -Modelle aufgetragen.

  1. Ein anhaltender Prozess mit komplexen Wurzeln.
  2. Ein anhaltender Prozess mit echten Wurzeln.

Für sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms wobei Eigenwerte der unten definierten Matrix sind. Mit einem konjugiert komplexen Eigenwerte und ˉ & lgr; = r e - i ω t , die r die Steuerelemente Dämpfungs (wobei r [ 0 , 1 ) ) und ω steuert die Frequenz des Kosinus Welle.j=1,p1λjλ1,,λpAλ=reiωtλ¯=reiωtrr[0,1)ω

Detailliertes AR (2) Beispiel

Nehmen wir an, wir haben den AR (2):

yt=ϕ1yt1+ϕ2yt2+ϵt

Sie können jedes AR (p) als VAR (1) schreiben . In diesem Fall lautet die VAR (1) -Darstellung:

[ytyt1]Xt=[ϕ1ϕ210]A[yt1yt2]Xt1+[ϵt0]Ut
MatrixAregelt die Dynamik vonXtund damityt. Die charakteristische Gleichung der MatrixA ist:
λ2ϕ1λϕ2=0
Die Eigenwerte vonA sind:
λ1=ϕ1+ϕ12+4ϕ22λ2=ϕ1ϕ12+4ϕ22
Die Eigenvektoren vonAsind:
v1=[λ11]v2=[λ21]

Man beachte, dass E[Xt+kXt,Xt1,]=AkXt . Bilden der Eigenwertzerlegung und Erhöhen von A auf die k te Potenz.

Ak=[λ1λ211][λ1k00λ2k][1λ1λ2λ2λ1λ21λ1λ2λ1λ1λ2]

Ein realer Eigenwert λ führt zu einem Abfall, wenn Sie λk erhöhen . Eigenwerte mit imaginären Komponenten ungleich Null führen zu zyklischem Verhalten.

Eigenwerte mit imaginärem Komponentenfall: ϕ12+4ϕ2<0

Im AR (2) -Kontext haben wir komplexe Eigenwerte, wenn ϕ12+4ϕ2<0 . Da A real ist, müssen sie paarweise vorliegen, die komplexe Konjugate voneinander sind.

Nach Kapitel 2 von Prado und West (2010) sei

ct=λλλ¯ytλλ¯λλ¯yt1

Sie können die Vorhersage E[yt+kyt,yt1,] anzeigen, die gegeben ist durch:

E[yt+kyt,yt1,]=ctλk+c¯tλ¯k=atrkcos(ωk+θt)

Wenn Sie locker sprechen und die komplexen Konjugate hinzufügen, wird ihre imaginäre Komponente aufgehoben, sodass Sie eine einzige gedämpfte Kosinuswelle im Raum reeller Zahlen erhalten. (Beachten Sie, dass wir für die Stationarität 0r<1 haben müssen .)

Wenn Sie r , ω , at , θt finden möchten , beginnen Sie mit der Euler-Formel, dass reiθ=rcosθ+rsinθ , wir können schreiben:

λ=reiωλ¯=reiωr=|λ|=ϕ2
ω=atan2(imagλ,realλ)=atan2(12ϕ124ϕ2,12ϕ1)

at=2|ct|θt=atan2(imagct,realct)

Blinddarm

Hinweis Verwirrende Terminologiewarnung! Beziehung des charakteristischen Polynoms von A zum charakteristischen Polynom von AR (p)

Ein weiterer Zeitreihen-Trick besteht darin , den AR (p) mit dem Verzögerungsoperator wie folgt zu schreiben:

(1ϕ1Lϕ2L2ϕpLp)yt=ϵt

Lz1ϕ1zϕpzpAz=1λz|λ|<1|z|>1

Verweise

Prado, Raquel und Mike West, Zeitreihen: Modellierung, Berechnung und Inferenz , 2010

Matthew Gunn
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Ich bin überrascht, dass ich im Moment die einzige Abstimmung bin. Gute Antwort!
Taylor
@ Taylor Es ist eine alte, inaktive Frage. :)
Matthew Gunn