Geschlossene Form für die Quantile von

Ich habe zwei Zufallsvariablen, wobei U ( 0 , 1 ) die gleichmäßige 0-1-Verteilung ist.$\alpha_i\sim \text{iid }U(0,1),\;\;i=1,2$$U(0,1)$

Dann ergeben diese einen Prozess, sagen wir:

$$P(x)=\alpha_1\sin(x)+\alpha_2\cos(x), \;\;\;x\in (0,2\pi)$$

Nun habe ich mich gefragt, ob es einen Ausdruck in geschlossener Form für das theoretische 75 - Prozent - Quantil von P ( x ) für ein gegebenes x ∈ ( 0 , 2 π ) - i sei Ich kann es mit einem Computer und vielen Realisierungen von P ( x ) machen , aber ich würde geschlossene Form bevorzugen.$F^{-1}(P(x);0.75)$$P(x)$$x\in(0,2\pi)$$P(x)$

Dieses Problem kann schnell auf das Finden des Quantils einer Trapezverteilung reduziert werden .

Schreiben wir den Prozess neu als Wobei U 1 und U 2 sind iid U ( - 1 , 1 ) Zufallsvariablen; und durch Symmetrie, dies hat die gleicheRandverteilungwie der Prozess ¯ P ( x ) = U 1 ⋅ |

$$P(x) = U_1 \cdot \frac12 \sin x + U_2 \cdot \frac12 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$$ $U_1$$U_2$$\mathcal U(-1,1)$ Die ersten beiden Terme bestimmen eine symmetrischeTrapezdichte,da dies die Summe zweier gleichförmiger Zufallsvariablen mit dem Mittelwert Null ist (mit im Allgemeinen unterschiedlichen Halbwertsbreiten). Der letzte Term führt nur zu einer Verschiebung dieser Dichte, und das Quantil ist in Bezug auf diese Verschiebung äquivariant (dh das Quantil der verschobenen Verteilung ist das verschobene Quantil der zentrierten Verteilung). $$\overline P(x) = U_1 \cdot \left|\frac12 \sin x\right| + U_2 \cdot \left|\frac12 \cos x\right| + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>.$$

Quantile einer Trapezverteilung

Sei wobei X 1 und X 2 unabhängige Verteilungen von U ( - a , a ) und U ( - b , b ) sind . Man nehme ohne Einschränkung der Allgemeinheit an, dass a ≥ b ist . Dann wird die Dichte von Y durch Falten der Dichten von X 1 und X 2 gebildet . Dies ist ohne weiteres ein Trapez mit Eckpunkten ( - $Y = X_1 + X_2$$X_1$$X_2$$\mathcal U(-a,a)$$\mathcal U(-b,b)$$a \geq b$$Y$$X_1$$X_2$ , ( - a + b , 1 / 2 a ) , ( a - b , 1 / 2 a ) und ( a + b , 0 ) .$(-a-b,0)$$(-a+b,1/2a)$$(a-b,1/2a)$$(a+b,0)$

Die Quantil der Verteilung von , für jeden p < 1 / 2 ist, also q ( p ) : = q ( $Y$$p < 1/2$ DurchSymmetrie fürp>1/2, haben wirq(p)=-q(1-p).

$$q(p) := q(p\,; a,b) = \begin{cases} \sqrt{8abp} - (a+b) \,, & p < b/2a \\ (2p - 1) a \,, & b/2a \leq p \leq 1/2 \>. \end{cases}$$ $p > 1/2$$q(p) = - q(1-p)$

Zurück zum vorliegenden Fall

$|\sin x| \geq |\cos x|$$|\sin x| < |\cos x|$$2a$$2b$$\overline P(x)$

$p < 1/2$$|\sin x| \geq |\cos x|$$a = |\sin x|/2$$b=|\cos x|/2$

$$q_x(p) = q(p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$$ $|\sin x| < |\cos x|$$p \geq 1/2$ $$q_x(p) = -q(1-p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$$

Die Quantile

$P(x)$$x$$0$$2\pi$$y$$p$$P(x)$

$p = 1/2$$p=0$$p=1$$p=1/4$$p=3/4$

Einige RBeispielcode

qproc$P(x)$$x$qtrap

# Pointwise quantiles of a random process: 
# P(x) = a_1 sin(x) + a_2 cos(x)

# Trapezoidal distribution quantile
# Assumes X = U + V where U~Uni(-a,a), V~Uni(-b,b) and a >= b
qtrap <- function(p, a, b)
{
    if( a < b) stop("I need a >= b.")
    s <- 2*(p<=1/2) - 1
    p <- ifelse(p<= 1/2, p, 1-p)
    s * ifelse( p < b/2/a, sqrt(8*a*b*p)-a-b, (2*p-1)*a )
}

# Now, here is the process's quantile function.
qproc <- function(p, x)
{
    s <- abs(sin(x))
    c <- abs(cos(x))
    a <- ifelse(s>c, s, c)
    b <- ifelse(s<c, s, c)
    qtrap(p,a/2, b/2) + 0.5*(sin(x)+cos(x))
} 

Unten ist ein Test mit der entsprechenden Ausgabe.

# Test case
set.seed(17)
n <- 1e4
x <- -pi/8
r <- runif(n) * sin(x) + runif(n) * cos(x)

# Sample quantiles, then actual.
> round(quantile(r,(0:10)/10),3)
    0%    10%    20%    30%    40%    50%    60%    70%    80%    90%   100%
-0.380 -0.111 -0.002  0.093  0.186  0.275  0.365  0.453  0.550  0.659  0.917
> round(qproc((0:10)/10, x),3)
 [1] -0.383 -0.117 -0.007  0.086  0.178  0.271  0.363  0.455  0.548
[10]  0.658  0.924