Erwarteter Wert und Varianz der Trace-Funktion

Für Zufallsvariablen und eine positive semi-definite Matrix : Gibt es einen vereinfachten Ausdruck für den erwarteten Wert und die Varianz , ? Bitte beachten Sie, dass keine Zufallsvariable ist. $X \in \mathbb{R}^h$ $A$ $\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$ $Var[Tr(X^TAX)]$ $A$

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Antworten:

Da ein Skalar ist, ist so dass . $X^TAX$

Tr (X^{T} A X) = X^{T} A X = Tr (A X X^{T})

$\text{Tr}(X^TAX)= X^TAX = \text{Tr}(AXX^T)$

E (X^{T} A X) = E (Tr (A X X^{T})) = Tr (E (A X X^{T})) = Tr (A E (X X^{T}))

$\text{E}(X^TAX) = \text{E}(\text{Tr}(AXX^T)) = \text{Tr}(\text{E} (A XX^T)) = \text{Tr}(A\text{E}(XX^T))$

Hier haben wir verwendet, dass die Spur eines Produkts unter zyklischen Permutationen der Faktoren unveränderlich ist und dass die Spur ein linearer Operator ist, also mit Erwartung pendelt. Die Varianz ist eine viel aufwendigere Berechnung, die auch einige höhere Momente von . Diese Berechnung findet sich in Seber: "Lineare Regressionsanalyse" (Wiley) $X$

kjetil b halvorsen
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Warum ist ?

T r (X^{T} A X) = X^{T} A X

$Tr(X^T AX) = X^T AX$

Aqqqq

Weil eine Zahl ist

X^{T} A X

$X^TAX$

kjetil b halvorsen