Binomialverteilung, bei der die Anzahl der Experimente binomial verteilt ist

In meinem Setup

• es gibt $m$ Versuche.
• Jeder Versuch hat eine Wahrscheinlichkeit $q$ ausgewählt zu werden.

• $N \leq m$ ist die Anzahl der ausgewählten Versuche
  

  $$\rightarrow N \sim \text{Bin}(q, m)$$

• Für jeden der $N$ Ausgewählte Studien ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$

• $K\leq N$ ist die Anzahl der erfolgreichen Versuche
  $$\rightarrow (K|N) \sim \text{Bin}(p, N)$$

Ich habe bereits abgeleitet $E[K] = qmp$, und $Var(K)= qmp(1-p) + p^2 m q(1-q)$

Ich stecke jedoch in der Ableitung von fest $cov(K, N)$. Ich würde mich über jede Hilfe zur Lösung dieses Problems freuen.

Unter Verwendung des Gesetzes der gesamten Kovarianz ,

$$\begin{align} \operatorname{Cov}(K,N) &=E\operatorname{Cov}(K,N|N)+\operatorname{Cov}(EK|N,EN|N) \\&=E 0+\operatorname{Cov}(pN,N) \\&=0+p\operatorname{Var}(N) \\&=pmq(1-q). \end{align}$$