Verteilung von

Angenommen, (mit ) hat eine Dichte . Was können wir über die Verteilung von sagen $X \in \mathbb{R}^n$$n > 1$$f_X(x)$

$$Y = -\log f_X(X)?$$

Das von Xi'an erwähnte Buch stammt aus dem Jahr 2004. Es bezieht sich auf einen Artikel aus dem Jahr 1991, in dem der folgende Satz erscheint.

Aus: Troutt MD 1991 Ein Satz über die Dichte der Dichtordinate und eine alternative Interpretation der Box-Muller-Methode

Wenn eine Zufallsvariable X eine Dichte , , und wenn die Zufallsvariable eine Dichte , dann ist wobei das Lebesgue-Maß der Menge$f(x)$$x \in \mathbb{R}^n$$v = f(x)$$g(v)$

$$g(v) = -vA^\prime(v),$$ $A(v)$ $$S(v) = \lbrace x: f(x) \geq v \rbrace$$

Intuitiv und nicht formal:

$$\begin{array}\\ f_Z(z) dz = P(z<Z<z+dz) &= P(x(z)<X<x(z+dz)) \\ &= P(x(z)<X<x(z)+dz \frac{dx}{dz}) \\ &= f_X(X) \frac{dx}{dz} dz = z \frac{-dA(z)}{dz} dz \end{array}$$

In ähnlicher Weise gilt: Wenn wir eine transformierte Variable Folgendes:$Y = g(f_x(x))$

$$\begin{array}\\ f_Y(y) dy = P(y<Y<y+dy) &= P(x(y)<X<x(y+dy)) \\ &= P(x(y)<X<x(y)+dy \frac{dx}{dy}) \\ &= f_X(X) \frac{dx}{dy} dy = g^{-1}(y) \frac{-dA(y)}{dy} dy \end{array}$$

Damit

$$f_Y(y) = -e^{-y} \frac{A(y)}{dy}$$

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Beispiel Standard Normalverteilung:

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-0.5 x^2}$$

$$y = \log(\sqrt{2\pi}) + 0.5 x^2$$

$$A(y) = C-\sqrt{8(y-\log(\sqrt{2\pi}))}$$

somit

$$f_Y(y) = \frac{\sqrt{2} e^{-y}}{\sqrt{y-\frac{\log(2\pi)}{2}}}$$

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Beispiel eine multivariate Normalverteilung:

$$f_X(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi} e^{-0.5 (x_1^2 + x_2^2)}$$

$$y = \log(2\pi) + 0.5 (x_1^2+x_2^2)$$

$$A(y) = C-2\pi(y-\log(2\pi))$$

somit

$$f_Y(y) = 2\pi e^{-y} \qquad \qquad \text{for $y \geq log(2\pi)$}$$

Rechenprüfung:

# random draws/simulation
x_1 = rnorm(100000,0,1)
x_2 = rnorm(100000,0,1)
y = -log(dnorm(x_1,0,1)*dnorm(x_2,0,1))

# display simulation along with theoretic curve
hist(y,breaks=c(0,log(2*pi)+c(0:(max(y+1)*5))/5),
     main = "computational check for distribution f_Y")
y_t <- seq(1,10,0.01)
lines(y_t,2*pi*exp(-y_t),col=2)