Finden der Randdichten von

Wie der Titel schon sagt, suche ich nach den Randdichten von

f (x, y) = c \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}, x^{2} + y^{2} \leq 1.

$f (x,y) = c \sqrt{1 - x^2 - y^2}, x^2 + y^2 \leq 1.$

Bisher habe ich gefunden $c$ sein $\frac{3}{2 \pi}$ . Ich habe das herausgefunden, indem ich $f(x,y)$ in Polarkoordinaten umgewandelt und über $drd\theta$ , weshalb ich mich auf den Randdichteabschnitt festgelegt habe. Ich weiß, dass $f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$ , aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das lösen soll, ohne ein großes chaotisches Integral zu erhalten, und ich weiß, dass die Antwort nicht sein soll ein großes unordentliches Integral. Ist es möglich, stattdessen $F(x,y)$ und nimm dann $\frac{dF}{dx}$ um $f_x(x)$ ? Das scheint die intuitive Art zu sein, aber ich kann anscheinend nichts in meinem Lehrbuch finden, das diese Beziehungen angibt, also wollte ich nicht die falschen Annahmen treffen.

self-study marginal multivariable Jarrod
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@kwak Ich bin mir nicht sicher, warum das Ändern des Titels notwendig war ... das "Hausaufgaben" -Tag sollte ausreichen.

Shane

@Shane:> ok zurück zum Original geändert.

user603

Antworten:

$f$ $(4 \pi /3)/2$ $c=3/(2 \pi)$

whuber
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Ahh, es kommt irgendwie von einem multivariablen Kalkül auf mich zurück. Ich erinnere mich, solche Probleme gemacht zu haben. Wie finde ich den Radius als Funktion der verbleibenden Variablen? Es scheint immer noch so, als ob ich eine Art Monsterintegral übrig haben werde.

Jarrod

y

$y$

x^{2} \leq 1 - y^{2}

$x^2 \le 1-y^2$

\sqrt{1 - y^{2}}

$\sqrt{1 - y^2}$

π (1 - y^{2}) / 2.

$\pi (1 - y^2)/2.$

Oh, richtig. Das kam mir in den Sinn, aber es schien zu einfach. Ich glaube, ich war entschlossen, es kompliziert zu machen. Vielen Dank!

Jarrod

Ich habe vergessen zu fragen: Wie kommt c dazu?

Jarrod

Meiner Meinung nach verdient Whubers Antwort aus zwei Gründen eine positive Bewertung. Erstens beantwortet es die gestellte Frage, zweitens als Modell dafür, wie wir in Zukunft (explizit angegebene) Hausaufgabenfragen behandeln könnten: Diese Art von Antworten trägt tatsächlich zum Lernprozess bei und könnte eine bessere Politik in Bezug auf Hausaufgabenfragen sein als die angenommene bei MO / SO.

user603