Was ist die Intuition hinter der Differenzierung zweiter Ordnung?

Manchmal muss eine Zeitserie differenziert werden, um stationär zu sein. Ich verstehe jedoch nicht, wie eine Differenzierung zweiter Ordnung dazu beitragen kann, sie stationär zu machen, wenn eine Differenzierung erster Ordnung nicht ausreicht.

Können Sie eine intuitive Erklärung für die Differenzierung zweiter Ordnung und die Fälle geben, in denen dies erforderlich ist?

Die Differenzierung zweiter Ordnung ist die diskrete Analogie zur zweiten Ableitung. Für eine diskrete Zeitreihe repräsentiert die Differenz zweiter Ordnung die Krümmung der Reihe zu einem bestimmten Zeitpunkt. Wenn die Differenz zweiter Ordnung positiv ist, krümmt sich die Zeitreihe zu diesem Zeitpunkt nach oben, und wenn sie negativ ist, krümmt sich die Zeitreihe zu diesem Zeitpunkt nach unten.

Die Differenz zweiter Ordnung einer diskreten Zeitreihe zum Zeitpunkt ist:$\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$$t$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Dies ist positiv, wenn und negativ, wenn (und Null, wenn ). Wenn sich die Serie zu diesem Zeitpunkt stärker nach oben (weniger nach unten) ändert als zum vorherigen Zeitpunkt, liegt eine positive Krümmung vor, und wenn sich die Serie zu diesem Zeitpunkt weniger nach oben (mehr nach unten) ändert als zum vorherigen Zeitpunkt. es gibt eine negative Krümmung.$\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$

Zwei Gedanken:

Rekursion . Was haben Sie nach dem Unterschied erster Ordnung? Eine weitere Zeitreihe, die unter den richtigen Bedingungen näher am Stillstand liegt. Wenn es nicht nah genug ist, haben Sie jetzt eine Zeitreihe, die nicht stationär ist, und Sie möchten sie näher an das stationäre verschieben, sodass Sie einen Unterschied erster Ordnung ziehen. (Dies ist zufällig ein Unterschied zweiter Ordnung zur ursprünglichen Zeitreihe.) Wenn die differenzierte Zeitreihe nicht nahe genug an der stationären Zeitreihe liegt, ... [rekursiv] ...

Derivate . Stellen Sie sich vor, Sie zeichnen alle 10 Minuten den GPS-Standort Ihres Autos auf. Wenn ich die GPS-Punkte von zwei beliebigen Tagen nehmen und Ihnen zeigen könnte und Sie nicht herausfinden könnten, an welchem ​​Tag es gewesen sein könnte - vielleicht können Sie nicht einmal wirklich einen Tag von einem anderen unterscheiden -, wären Ihre Standortdaten stationär.

Aber sagen Sie, Sie sind zwei Wochen lang jeden Tag in eine andere nahe gelegene Stadt gefahren? Sie könnten leicht den Unterschied zwischen den Tagen erkennen - vielleicht sogar genau wissen, welchen Tag ich Ihnen gezeigt habe. Nicht stationär.

Wenn Sie stattdessen alle 10 Minuten Ihre Entfernung von zu Hause aufzeichnen, werden Ihre Daten möglicherweise stationärer. Die Entfernung enthält keine Richtung. Vielleicht würden Ihre Daten für diese zwei Wochen jetzt ziemlich gleich aussehen? (Der durchschnittliche Standort ist beispielsweise zu Hause.)

Sagen Sie stattdessen, dass Sie sich entschieden haben, von New York direkt nach Los Angeles zu fahren. Der Distanztrick würde nicht funktionieren, da Ihre Distanz Ihnen eine ziemlich klare Unterscheidung zwischen Tagen geben würde.

Sie können dann aber auch alle 10 Minuten Ihre Geschwindigkeit aufzeichnen. Wenn Sie auf dem Interstate-System querfeldein fahren, sehen Ihre Tage in Bezug auf die Geschwindigkeit sehr ähnlich aus. Das heißt, Ihre Geschwindigkeit wäre stationär.

Angenommen, der Ort zum Zeitpunkt 0 ist und 10 und 20 Minuten später ist bzw. . Die in jedem 10-Minuten-Intervall zurückgelegte Strecke wäre und , was, geteilt durch das Zeitintervall, die Geschwindigkeit ergibt (gleiche Einheiten wie Geschwindigkeit, aber mit Richtung). Das zweite Differential ist die Beschleunigung. Wenn die Geschwindigkeit stationär ist und sich das Fahrzeug ständig bewegt, wären auch die Standortunterschiede stationär.$L_0$$L_1$$L_2$$D_1 = L_1 - L_0$$D_2 = L_2 - L_1$$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$