Unabhängigkeit der Statistik von der Gammaverteilung

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Sei eine Zufallsstichprobe aus der Gammaverteilung .G a m m a ( α , β )X1,...,XnGamma(α,β)

Sei und der Stichprobenmittelwert bzw. die Stichprobenvarianz. S2X¯S2

Dann beweisen oder widerlegen Sie, dass und unabhängig sind. S2/ ˉ X 2X¯S2/X¯2


Mein Versuch: Da , müssen wir die Unabhängigkeit überprüfen und , aber wie soll ich die Unabhängigkeit zwischen ihnen herstellen?ˉX.S2/X¯2=1n1i=1n(XiX¯1)2X¯(XiX¯)i=1n

Glockenkreis
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Betrachten wir die gemeinsame Laplace - Transformation der Summe und der Vektor Proportions . Dies ist ; Sie können zeigen, dass dies das Produkt einer Funktion von und einer Funktion von . W W i : = X i / U E { exp [ - t U - zW ] } t zU:=iXiWWi:=Xi/UE{exp[tUzW]}tz
Yves
@Yves Könntest du meine Antwort unten überprüfen?
Glockenkreis

Antworten:

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Es gibt eine nette, einfache, intuitiv offensichtliche Demonstration für Integralα. Es stützt sich nur auf bekannte Eigenschaften der Gleichverteilung, der Gammaverteilung, der Poisson-Prozesse und der Zufallsvariablen und sieht folgendermaßen aus:

  1. Jedes ist die Wartezeit, bis Punkte eines Poisson-Prozesses auftreten. αXiα

  2. Die Summe daher die Wartezeit, bis Punkte dieses Prozesses auftreten. Nennen wir diese Punkte n α Z 1 , Z 2 , , Z n α .Y=X1+X2++XnnαZ1,Z2,,Znα.

  3. Unter der Bedingung von sind die ersten Punkte unabhängig voneinander gleichmäßig zwischen undN α - 1 0 Y .Ynα10Y.

  4. Daher sind die Verhältnisse unabhängig voneinander gleichmäßig zwischen und verteilt. Insbesondere hängen ihre Verteilungen nicht von0 1 Y .Zi/Y, i=1,2,,nα101.Y.

  5. Folglich ist jede (messbare) Funktion des unabhängig vonY .Zi/YY.

  6. Zu solchen Funktionen gehören (wobei die Klammern die Ordnungsstatistik des ).

    X1/Y=Z[α]/YX2/Y=Z[2α]/YZ[α]/YXn1/Y=Z[(n1)α]/YZ[(n2)α]/YXn/Y=1Z[(n1)α]/Y
    []Zi

Beachten Sie an dieser Stelle einfach, dass explizit als (messbare) Funktion des und daher unabhängig vonS2/X¯2Xi/YX¯=Y/n.

whuber
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3

Sie möchten beweisen, dass der Mittelwert und der rv.s unabhängig sind oder äquivalent dazu, dass die Summe und die Verhältnisse sind unabhängig. Wir können ein etwas allgemeineres Ergebnis beweisen, indem wir annehmen, dass die möglicherweise unterschiedliche Formen , aber dieselbe Skala die als angenommen werden kann .X¯nXi/X¯U:=XinWi:=Xi/UXiαiβ>0β=1

Betrachten Sie die gemeinsame Laplace-Transformation von und dh Dies wird als dimensionales Integral über wobei die Konstante relativ zu . Wenn wir durch Setzen neue Variablen unter das Integralzeichen einführen UW=[Wi]i=1n

ψ(t,z):=E{exp[tUzW}=E{exp[tiXiiziXiU]}
n(0,)n
Cstexp[(1+t)(x1++xn)z1x1++znxnx1++xn]x1α11xnαn1dx
xy:=(1+t)x , wir sehen leicht, dass das Integral als Produkt von zwei Funktionen geschrieben werden kann, eine abhängig von die andere abhängig vom Vektor . Dies beweist, dass und unabhängig sind.tzUW

Haftungsausschluss . Diese Frage bezieht sich auf Lukacs 'Theorem zur Proportionssummenunabhängigkeit , daher auf den Artikel von Eugene Lukacs A Characterization of the Gamma Distribution . Ich habe hier gerade den relevanten Teil dieses Artikels (nämlich S. 324) mit einigen Änderungen in den Notationen extrahiert. Ich habe auch die Verwendung der charakteristischen Funktion durch die der Laplace-Transformation ersetzt, um Änderungen von Variablen mit komplexen Zahlen zu vermeiden.

Yves
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(+1) Für die Arbeit zur Charakterisierung der Gammaverteilung.
Hartnäckig
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Sei . Beachten Sie, dass eine Zusatzstatistik von , dh seine Verteilung hängt nicht von . ( X i / U ) i β βU=iXi(Xi/U)iββ

Da eine vollständig ausreichende Statistik von , ist es nach Basus Theorem unabhängig von , daher folgt die Schlussfolgerung.β ( X i / U ) iUβ(Xi/U)i

Ich bin mir nicht sicher, wie die Zusatzstatistik aufgebaut ist, da sie nur von und nicht von unabhängig ist .αβα

Glockenkreis
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α