Ich versuche eine Funktion zu schreiben, die gleichmäßig verteiltes Rauschen erzeugt, das von einem p-Norm-Ball mit $n$ Dimensionen stammt:

Ich habe mögliche Lösungen für Kreise gefunden ( $p = 2$ ) ( http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html ), aber ich habe Probleme, diese für verschiedene Werte von $p$ .

Ich habe versucht, dies zu tun, indem ich nur eine Zufallsstichprobe aus einer gleichmäßigen Verteilung gezogen und neu gezeichnet habe, wenn sie die angegebene Einschränkung nicht erfüllt. Abgesehen davon, dass es eine hässliche Lösung ist, wird es auch für hohe Dimensionen rechnerisch unmöglich.

Ich fand die vollständige Lösung in einem Artikel, wie von kjetil b halvorsen ( https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=758215 ) vorgeschlagen. Ich habe ehrlich gesagt Probleme, die Mathematik dahinter zu verstehen, aber der letztendliche Algorithmus ist ziemlich einfach. Wenn wir Dimensionen haben, einen Radius r und eine Norm p als:$n$$r$$p$

$n$$\varepsilon_i = \bar{G}(1/p, p)$$\bar{G}(\mu, \sigma^2)$$e^{−|x|^p}$$p=2$

$x$$s_i * \varepsilon_i$$s_i$

$z = w^{1/n}$$w$

$y = r z \frac{x}{||x||_p}$

Verwendung homogen verteilter multivariater Variablen

Taeke bietet einen Link zu einem Artikel, den der folgende Text intuitiver macht, indem er speziell 2-Norm- und 1-Norm-Fälle erklärt.

$\Vert x \Vert_2 \leq r$

Probenrichtung

Sie können dieses Ergebnis http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html verwenden

Eine multivariate verteilte Gaußsche Variable (mit Identitätskovarianzmatrix) hängt nur von der Entfernung oder der Summe der Quadrate ab.$X$

Somit ist gleichmäßig auf der Oberfläche der n-dimensionalen Hypersphäre verteilt.$\frac{X}{\Vert X \Vert_2}$

Probenabstand

Um dies zu vervollständigen, müssen Sie nur den Abstand abtasten, um die homogene Verteilung auf der Kugel in eine homogene Verteilung in einer Kugel zu ändern. (Dies ist mehr oder weniger ähnlich wie Ihr verknüpftes Beispiel für die Auswahl von Plattenpunkten.)

Wenn Sie einfach als gleichmäßige Verteilung abtasten würden, hätten Sie eine relativ höhere Dichte in der Nähe des Zentrums (das Volumen skaliert als sodass ein Bruchteil der Punkte in einem Volumen enden würde , das dichter ist in der Nähe des Zentrums und würde keine gleichmäßige Verteilung bedeuten)$r$$r^n$$r$$r^n$

Wenn Sie stattdessen die te Wurzel einer Variablen verwenden, die aus einer gleichmäßigen Verteilung entnommen wurde, erhalten Sie eine gleichmäßige Verteilung.$n$

1-Norm$\Vert x \Vert_1 \leq r$

Richtung

In diesem Fall nehmen Sie aus der Laplace-Verteilung anstelle der Gaußschen Verteilung und dividieren durch die 1-Norm. Das ist gleichmäßig auf der n-dimensionalen 1-Norm-Kugel verteilt.$X$$\frac{X}{\vert X \vert_1}$

Ich habe keinen formalen Beweis, nur Intuition

^{(Da das PDF unabhängig von der Position ist, erwarten Sie, dass jeder infinitesimale Bereich / Volumen mit derselben 1-Norm dieselbe Wahrscheinlichkeit und wenn Sie dies auf die Einheitsoberfläche reduzieren, dasselbe )$f(x) dV$$f(x) dA$}

Aber das Testen mit Simulationen sieht gut aus.

library(rmutil)
x <- abs(rlaplace(20000))
y <- abs(rlaplace(20000))
z <- abs(rlaplace(20000))
rn <- abs(x)+abs(y)+abs(z)

xi <- (x/rn)
yi <- (y/rn)
zi <- (z/rn)
plot(sqrt(0.5)*(xi-yi),
     sqrt((0.5-0.5*(xi+yi))^2+zi^2),
     pc=21,bg=rgb(0,0,0,0.02), col=rgb(0,0,0,0),cex=1)

Entfernung

Der Abstand verläuft ähnlich wie im Fall der 2-Norm (das Volumen skaliert immer noch als ).$r^n$

p-Norm$\Vert x \Vert_p \leq r$

In diesem Fall müssten Sie, wenn Sie dem gleichen Prinzip folgen möchten, aus Verteilungen mit (ich nehme an) eine Stichprobe . Dies sind verallgemeinerte Normalverteilungen und beziehen sich wahrscheinlich auf die von Taeke erwähnte Verteilung .$f(x) \propto e^{\vert x \vert^p}$$G()$