Welche Verteilung muss verwendet werden, um die Zeit vor dem Eintreffen eines Zuges zu modellieren?

Ich versuche, einige Daten zur Zugankunftszeit zu modellieren. Ich würde gerne eine Distribution verwenden, die festhält: "Je länger ich warte, desto wahrscheinlicher wird der Zug auftauchen" . Es scheint, dass eine solche Verteilung wie eine CDF aussehen sollte, sodass P (Zug zeigt sich | wartete 60 Minuten) in der Nähe von 1 liegt. Welche Verteilung ist hier angemessen?

Multiplikation zweier Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit für eine erste Ankunft zu einem Zeitpunkt zwischen und (die Wartezeit) ist gleich der Multiplikation von$t$$t+dt$

• die Wahrscheinlichkeit für eine Ankunft zwischen und (die sich auf die Ankunftsrate zum Zeitpunkt beziehen kann )$t$$t+dt$$s(t)$$t$
• und die Wahrscheinlichkeit, dass vor dem Zeitpunkt keine Ankunft erfolgt (oder dass dies nicht die erste sein würde).$t$

Dieser letztere Begriff bezieht sich auf:

$$P(n=0,t+dt) = (1-s(t)dt) P(n=0,t)$$

oder

$$\frac{\partial P(n=0,t)}{\partial t} = -s(t) P(n=0,t)$$

geben:

$$P(n=0,t) = e^{\int_0^t-s(t) dt}$$

und Wahrscheinlichkeitsverteilung für Wartezeiten ist:

$$f(t) = s(t)e^{\int_0^t-s(t) dt}$$

Ableitung der kumulativen Verteilung.

Alternativ können Sie den Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit von weniger als einer Ankunft verwenden, sofern die Zeit$t$

$$P(n<1|t) = F(n=0;t)$$

und die Wahrscheinlichkeit für die Ankunft zwischen dem Zeitpunkt und ist gleich der Ableitung$t$$t+dt$

$$f_{\text{arrival time}}(t) = - \frac{d}{d t} F(n=0 \vert t)$$

Dieser Ansatz / diese Methode ist beispielsweise nützlich, um die Gammaverteilung als Wartezeit für die n-te Ankunft in einem Poisson-Prozess abzuleiten. ( Wartezeit des Poisson-Prozesses folgt der Gamma-Verteilung )

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Zwei Beispiele

Sie könnten dies mit dem Warteparadoxon in Verbindung bringen ( Bitte erläutern Sie das Warteparadoxon ).

• Exponentialverteilung: Wenn die Ankünfte wie ein Poisson-Prozess zufällig sind, ist konstant. Die Wahrscheinlichkeit einer nächsten Ankunft ist unabhängig von der vorherigen Wartezeit ohne Ankunft (sagen wir, wenn Sie einen fairen Würfel oft ohne sechs, dann für die nächste Rolle rollen Sie nicht plötzlich eine höhere Wahrscheinlichkeit für eine sechs haben, sehen Spielerfehlschluss ) . Sie erhalten die Exponentialverteilung, und das PDF für die Wartezeiten lautet:$s(t) = \lambda$

  $$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$$

• Konstante Verteilung: Wenn die Ankünfte mit einer konstanten Rate erfolgen (z. B. Züge, die nach einem festen Zeitplan eintreffen), steigt die Wahrscheinlichkeit einer Ankunft, wenn eine Person bereits einige Zeit gewartet hat. Angenommen, ein Zug soll alle Minuten eintreffen, dann ist die Frequenz, nachdem bereits Minuten gewartet wurden, und das PDF für die Wartezeit lautet : , was sinnvoll ist, da jedes Mal zwischen und die gleiche Wahrscheinlichkeit bestehen sollte, dass es sich um die erste Ankunft handelt.$T$$t$$s(t) = 1/(T-t)$

  $$f(t)= \frac{e^{\int_0^t -\frac{1}{T-t} dt}}{T-t} = \frac{1}{T}$$ $0$$T$

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Also ist es dieser zweite Fall mit "dann steigt die Wahrscheinlichkeit einer Ankunft, wenn eine Person bereits einige Zeit gewartet hat" , der sich auf Ihre Frage bezieht.

Abhängig von Ihrer Situation müssen möglicherweise einige Anpassungen vorgenommen werden. Mit mehr Informationen könnte die Wahrscheinlichkeit dass ein Zug zu einem bestimmten Zeitpunkt ankommt, eine komplexere Funktion sein.$s(t) dt$

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Geschrieben von StackExchangeStrike

Die klassische Verteilung zur Modellierung von Wartezeiten ist die Exponentialverteilung .

Die Exponentialverteilung tritt natürlich auf, wenn die Längen der Zwischenankunftszeiten in einem homogenen Poisson-Prozess beschrieben werden.