Für eine bestimmte Zufallsvariable (oder eine Population oder einen stochastischen Prozess) ist die mathematische Erwartung die Antwort auf eine Frage. Welche Punktprognose minimiert den erwarteten quadratischen Verlust? . Es ist auch die optimale Lösung für ein Spiel. Erraten Sie die nächste Realisierung einer Zufallsvariablen (oder eines neuen Draws aus einer Population), und ich werde Sie mit dem quadratischen Abstand zwischen dem Wert und Ihrer Vermutung bestrafen, wenn Sie eine lineare Disutilität haben der Bestrafung. Der Median ist die Antwort auf eine entsprechende Frage unter absolutem Verlust und der Modus ist die Antwort unter "Alles oder Nichts" -Verlust.
Fragen: Beantworten Varianz und Standardabweichung ähnliche Fragen? Was sind Sie?
Die Motivation für diese Frage ergibt sich aus der Vermittlung grundlegender Maßnahmen der zentralen Tendenz und Verbreitung. Während die Maßnahmen der zentralen Tendenz durch die oben genannten entscheidungstheoretischen Probleme motiviert werden können, frage ich mich, wie man die Maßnahmen der Verbreitung motivieren kann.
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Antworten:
Wenn ich die Frage als beabsichtigt verstanden habe, denken Sie an eine Einstellung, in der Sie unabhängige Realisierungen jeder ZufallsvariablenX mit jeder Verteilung F (mit endlicher Varianz σ2(F) ) erhalten können. Das "Spiel" wird durch die zu beschreibenden Funktionen h und L. . Es besteht aus folgenden Schritten und Regeln:
Dein Gegner ( "Nature") zeigt ,F..
Als Antwort erzeugen Sie eine Zahlt ( F.) , Ihre "Vorhersage".
Um das Ergebnis des Spiels zu bewerten, werden die folgenden Berechnungen durchgeführt:
Eine Stichprobe vonn iid Beobachtungen X = X.1, X.2, … , X.n wird aus F..
Eine vorbestimmte Funktionh wird auf die Probe angewendet, wodurch eine Zahl h ( X ) , die "Statistik", erzeugt wird.
Die "Verlustfunktion"L. vergleicht Ihre "Vorhersage" t ( F.) mit der Statistik h ( X ) , erzeugt eine nicht negative Zahl L (t(F.) , h ( X ) ) .
Das Ergebnis des Spiels ist der erwartete Verlust (oder "Risiko")R.( L , h )( t , F.) = E.( L ( t ( F.) , h ( X ) ) ) .
Ihr Ziel ist es, auf die Bewegung der Natur zu reagieren, indem Sie eint angeben, das das Risiko minimiert.
Zum Beispiel in dem Spiel mit der Funktionh ( X.1) = X.1 und jeder Verlust von Form L (t,h)=λ(t-h )2 für einige positive Zahl λ , Ihr optimalen bewegen holen t ( F.) die Erwartung von F..
Die Frage vor uns ist:
Dies lässt sich leicht beantworten, indem die Varianz als Erwartung dargestellt wird. Eine Möglichkeit besteht darin, festzulegen, dassh ( X.1, X.2) = 12( X.1- X.2)2 und weiterhin quadratischen VerlustL (t,h)=(t-h )2. Nachdem ich das beobachtet habe
Das Beispiel lässt den Schluss zu, dass diesesh und dieses L. die Frage nach der Varianz beantworten.
Was ist mit der Standardabweichungσ( F.) ? Auch hier müssen wir dies nur als Erwartung einer Stichprobenstatistik ausstellen. Dies ist jedoch nicht möglich, da selbst wenn wir F. auf die Familie der Bernoulli ( p ) -Verteilungen beschränken, wir nur unverzerrte Schätzer der Polynomfunktionen von p , aber σ( F.) = p ( 1 - p )- -- -- -- -- -- -- -√ ist keine Polynomfunktion in der Domänep ∈ ( 0 , 1 ) . (SieheFür die Binomialverteilung, warum gibt es fürkeinen unverzerrten Schätzer?1/p Für das allgemeine Argument über Binomialverteilungen, auf das diese Frage reduziert werden kann, nachdemh über alle Permutationen desXi. gemittelt wurde.)
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