Warum ist das Neyman-Pearson-Lemma ein Lemma und kein Theorem?

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Dies ist eher eine Geschichtsfrage als eine technische Frage.

Warum ist das Neyman-Pearson-Lemma ein Lemma und kein Theorem?

Link zum Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Neyman%E2%80%93Pearson_lemma

NB : Die Frage betrifft nicht, was ein Lemma ist und wie Lemmas verwendet werden, um einen Satz zu beweisen, sondern die Geschichte des Neyman-Pearson-Lemmas. Wurde es verwendet, um einen Satz zu beweisen, und dann war es nützlicher? Gibt es Beweise dafür, die nicht den Verdacht erwecken, dass dies der Fall war?

Tauto
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Terminologie : Ein Lemma ist ein "helfender Satz", ein Satz mit geringer Anwendbarkeit, außer dass er Teil des Beweises eines größeren Satzes ist. In einigen Fällen, wenn die relative Bedeutung verschiedener Theoreme klarer wird, wird das, was früher als Lemma galt, jetzt als Theorem betrachtet, obwohl das Wort "Lemma" im Namen verbleibt.
Carl
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@ Carl Sicher, aber warum ist das Neyman-Pearson-Lemma ein Lemma und kein Theorem? Gab es einen Satz? und gibt es Beweise dafür? Wie gesagt, es ist eine Geschichtsfrage, keine technische.
Tauto
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Nun, das NP-Lemma wird verwendet, um das Karlin-Rubin-Theorem zu beweisen, und dass Raos Score-Test lokal am leistungsfähigsten ist; Diese Ergebnisse werden möglicherweise weiter angewendet als das NP-Lemma selbst (Punkt Null gegen Punkt Alternative).
Scortchi - Monica wieder einsetzen

Antworten:

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NB: Diese historisch erste Antwort auf die OP-Frage. In der Statistik wurde das Neyman-Pearson-Lemma 1933 von Jerzy Neyman und Egon Pearson in einem Artikel eingeführt . Außerdem wird es in der Praxis von Statistikern als Theorem und nicht als Lemma verwendet, und es wird hauptsächlich aufgrund des Papiers von 1936 als Lemma bezeichnet. IMHO beantwortet die historische Behandlung nicht die "Warum" -Frage, und dieser Beitrag versucht dies zu tun.

Was ein Lemma im Gegensatz zu einem Theorem oder einer Folgerung ist, wird an anderer Stelle und hier angesprochen . Genauer gesagt, was die Definition betrifft: Lemma, erste Bedeutung : Ein Neben- oder Zwischensatz in einem Argument oder Beweis. Ich stimme dem Oxford-Wörterbuch zu, hätte aber die Wortreihenfolge geändert und die genaue Sprache notiert: Zwischen- oder Nebensatz. Einige Autoren glauben fälschlicherweise, dass ein Lemma ein Vermittler für einen Beweis sein muss, und dies ist bei vielen unbenannten Lemmas der Fall. Zumindest für benannte Lemmas ist es jedoch üblich, dass das Lemma-Ergebnis eine Implikation ist, die sich aus einem bereits bewährten Theorem ergibt, so dass das Lemma ein zusätzlicher, dh subsidiärer Theorem ist. Aus der New World Encyclopedia Die Unterscheidung zwischen Theoremen und Lemmas ist eher willkürlich, da das Hauptergebnis eines Mathematikers der Nebenanspruch eines anderen ist. Gauß 'Lemma und Zorns Lemma zum Beispiel sind an sich interessant genug, dass einige Autoren das nominale Lemma präsentieren, ohne es im Beweis eines Theorems zu verwenden. Ein weiteres Beispiel hierfür ist Evans Lemma, das sich nicht aus dem Beweis eines einfachen Satzes der Differentialgeometrie ergibt, der ... zeigt, dass die erste Cartan-Strukturgleichung eine Gleichheit zweier Tetradenpostulate ist ... Das Tetradenpostulat [ Sic , selbst] ist die Quelle des Evans Lemma der Differentialgeometrie. Wikipedia erwähnt die zeitliche Entwicklung von Deckspelzen:In einigen Fällen, wenn die relative Bedeutung verschiedener Theoreme klarer wird, wird das, was früher als Lemma galt, jetzt als Theorem betrachtet, obwohl das Wort "Lemma" im Namen verbleibt.

Beachten Sie jedoch, dass es sich auch um Theoreme handelt, ob es sich um eigenständige Deckspelzen handelt oder nicht. Das heißt, ein Theorem, das ein Lemmas ist, kann manchmal eine Antwort auf die Frage sein: "Was impliziert der (obige) Theorem?" Manchmal sind Deckspelzen ein Sprungbrett, um einen Satz aufzustellen.

Aus der Lektüre des Papiers von 1933 geht hervor: IX. Zum Problem der effizientesten Tests statistischer Hypothesen. Jerzy Neyman, Egon Sharpe Pearson und Karl Pearson , dass der Satz, der untersucht wird, der Satz von Bayes ist . Einige Leser dieses Beitrags haben Schwierigkeiten, den Satz von Bayes mit dem Papier von 1933 in Verbindung zu bringen, obwohl eine diesbezügliche Einführung ziemlich explizit ist. Beachten Sie, dass das Papier von 1933 mit Venn-Diagrammen übersät ist. Venn-Diagramme veranschaulichen die bedingte Wahrscheinlichkeit , die der Satz von Bayes ist. Einige Leute bezeichnen dies als Bayes-Regel, da es übertrieben ist, diese Regel als "Theorem" zu bezeichnen. Wenn wir zum Beispiel "Addition" als Theorem bezeichnen würden, anstatt eine Regel zu sein, würden wir eher verwirren als erklären.

Daher ist das Neyman-Pearson- Lemma ein Theorem bezüglich der effizientesten Prüfung von Bayes'schen Hypothesen, wird aber derzeit nicht so genannt, weil es nicht von Anfang an war.

Carl
quelle
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Ich bin etwas verwirrt darüber, was genau Sie hier sagen. Offensichtlich nicht, dass das NP-Lemma verwendet wird, um den Satz von Bayes in diesem Artikel oder anderswo zu beweisen. Also die Frage "Warum 'Deckspelze'?" Überreste. Das NP-Lemma wird in den Abschnitten III und IV dieses Dokuments zur Ableitung ähnlicher UMP-Tests verwendet und könnte aus diesem Grund zu Recht als Lemma bezeichnet worden sein.
Scortchi - Monica wieder einsetzen
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Ihre Aussage "Daher könnte das Neyman-Pearson-Lemma als Theorem bezeichnet werden" ist unbegründet und erklärt nichts, warum wir das "Neyman-Pearson-Lemma" als Lemma bezeichnen. Darüber hinaus ist das, was es mit dem Bayes-Theorem zu tun hat, völlig unklar und scheint falsch zu sein. Ihre Antwort verdient Abstimmungen, weil sie vage und unsinnig ist, aber da Sie diese Abstimmungen nicht mögen, werde ich nur sagen, dass sie sie verdient, ohne sie zu geben.
Sextus Empiricus
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Ein Lemma ist nur ein Satz (nur als "Hilfe" in einem größeren Beweis in einen anderen Kontext gestellt). Dies ist nicht die Frage und wurde in mehreren Threads auf der Mathematik-Website beantwortet. Wir wissen, dass Lemmas beginnen können, ein eigenständiges Leben zu führen (ohne die früheren Theoreme, denen sie geholfen haben). Die Frage fragt ausdrücklich nach der Geschichte in Bezug auf das Neyman Pearson Lemma. Francis hat darauf bereits eine gute Antwort gegeben, und es besteht keine Notwendigkeit für eine weitere Antwort. Ich habe Ihre Antwort kritisiert, weil sie verwirrend ist (mit Sachen über die Bayes-Regel) und nicht hilfreich oder sogar schädlich ist.
Sextus Empiricus
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Haben Sie eine Quelle für diese Interpretation / Verwendung des Wortes "Lemma"? Ansonsten glaube ich, dass Sie einfach falsch verstanden haben, was das "Lemma" bedeutet. Um die Sprache aus der verknüpften Antwort von der Companion-Site auszuleihen, würde ich sowohl die aktuelle als auch die vorherige Version dieser Frage so interpretieren, dass sie bedeutet: "Was ist das bedeutendere Ergebnis, für das das Neyman-Pearsion-Lemma eine 'Helfer'-Tatsache war?".
Juho Kokkala
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"Das ist übertrieben, weil es nicht" ein anderer "sein muss." Woher kommt diese Behauptung? Dies (ohne ursprünglich Teil eines Beweises für einen „anderen“ Satz zu sein) ist nicht die Art und Weise, wie Mathematiker den Begriff Lemma verwenden. Es ist der Verwendung in Logik A -> B -> C sehr ähnlich und die Frage fragt, was C ist, wenn das Lemma B das Neyman Pearson-Lemma ist (es ist definitiv keine Bayes-Regel / Satz).
Sextus Empiricus
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Die klassische Version erscheint 1933, aber der früheste Anlass, als "Lemma" bezeichnet zu werden, ist möglicherweise in Neymans und Pearsons Artikel von 1936 Beiträge zur Theorie der Prüfung statistischer Hypothesen (S. 1-37 von Statistical Research Memoirs Volume I). . Das Lemma und der Satz, mit dem es bewiesen wurde, wurden wie folgt angegeben: Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Dies ist heute als verallgemeinertes Neyman-Pearson-Fundamental-Lemma bekannt (vgl. Kapitel 3.6 der statistischen Hypothesen von Lehman und Romano ) und reduziert sich auf Ihr tägliches Neyman-Pearson, wenn . Das Lemma selbst wurde dann von mehreren großen Namen aus dieser Zeit untersucht (z. B. PL Hsu, Dantzig, Wald, Chernoff, Scheffé), und der Name "Lemma von Neyman und Pearson" blieb somit erhalten.m=1

Hier ist eine Liste relevanter Artikel / Bücher, wenn Sie sich für die Geschichte des Neyman-Pearson-Lemmas interessieren:

  • Die Neyman-Pearson-Geschichte: 1926-34 , ES Pearson, in Research Papers in Statistical: Festschrift für J. Neyman .
  • Einführung in Neyman und Pearson (1933) Zum Problem der effizientesten Tests statistischer Hypothesen , EL Lehmann, in Durchbrüche in der Statistik: Grundlagen und Grundtheorie .
  • Neyman-From Life , C. Reid.
Francis
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Ja, aber das Lemma von Neyman-Pearson passte 1933 zur Definition eines Lemmas, dh es war zu dieser Zeit ein Lemma, weshalb es später als Lemma bezeichnet wurde.
Carl
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@ Carl, was ist dein Punkt mit 'aber'. Stimmt etwas mit dieser Antwort nicht?
Sextus Empiricus
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@MartijnWeterings: Sie können den Begriff in Google Scholar suchen und den Datumsbereich einschränken. Die früheste Verwendung stammt anscheinend von PL Hsu. Walds Vorlesungsnotiz von 1940 zitierte es ebenfalls.
Francis
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@ Carl, hast du den folgenden Teil verpasst? " NB : Die Frage ist nicht, was ein Lemma ist und wie Lemmas verwendet werden, um einen Satz zu beweisen, sondern die Geschichte des Neyman-Pearson-Lemmas." Es geht um die Geschichte . Die Frage fragt nach dem Kontext, wie dieser Satz als Lemma bezeichnet wurde. Nicht, warum ein Satz (oder genauer gesagt dieser Satz) als Lemma bezeichnet werden kann.
Sextus Empiricus
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@Carl, dann erklärt diese Antwort gut, wie sie diese Rolle erfüllt hat, und sie enthält einige Informationen darüber, wie die Leute diese Rolle gesehen haben.
Sextus Empiricus