Gemischte Modelle: Wie lassen sich Hendersons Gleichungen mit gemischten Modellen ableiten?

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Im Kontext der besten linearen unverzerrten Prädiktoren (BLUP) spezifizierte Henderson die Gleichungen mit gemischten Modellen (siehe Henderson (1950): Estimation of Genetic Parameters. Annals of Mathematical Statistics, 21, 309-310). Nehmen wir das folgende Modell mit gemischten Effekten an:

y=Xβ+Zu+e

wobei ein Vektor von n beobachtbaren Zufallsvariablen ist, ein Vektor von festen Effekten ist, und bekannte Matrizen sind und und Vektoren von und zufälligen Effekten sind, so dass und undyβpXZueqnE(u)=0E(e)=0

Var[ue]=[G00R]σ2

wobei und bekannte bestimmte Matrizen sind und eine positive Konstante ist.GRσ2

Nach Henderson (1950) sind die BLUP-Schätzungen von von und von als Lösungen für das folgende Gleichungssystem definiert:β^βu^u

XR1Xβ^+XR1Zu^=XR1y

ZR1Xβ^+(ZR1Z+G1)u^=ZR1y

(Siehe auch: Robinson (1991): Diese BLUP ist eine gute Sache: die Abschätzung zufälliger Effekte (mit Diskussion). Statistical Science, 6: 15–51).

Ich habe keine Ableitung dieser Lösung gefunden, gehe aber davon aus, dass er sich ihr wie folgt näherte:

(yXβZu)V1(yXβZu)

wobei . Daher sollten die Lösungen daher seinV=R+ZGZ

XV1Xβ^+XV1Zu^=XV1y

ZV1Xβ^+ZV1Zu^=ZV1y .

Wir wissen auch, dass .V1=R1R1Z(G1+ZR1Z)ZR1

Wie kann man jedoch fortfahren, um zu den gemischten Modellgleichungen zu gelangen?

DomB
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Antworten:

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Ein Ansatz besteht darin, die Log-Wahrscheinlichkeit zu bilden und diese in Bezug auf die zufälligen Effekte differenzieren und diese auf Null zu setzen, dann zu wiederholen, aber in Bezug auf die festen Effekte differenzieren .uβ

Mit den üblichen Normalitätsannahmen haben wir:

y|uN(Xβ+Zu,R)uN(0,G)
wobei der Antwortvektor ist, und die Vektoren für zufällige Effekte und Koeffizienten mit festen Effekten und sind Modellmatrizen für die festen Effekte bzw. zufälligen Effekte. Die Log-Wahrscheinlichkeit ist dann:yuβXZ

2logL(β,θ,u)=log|R|+(yXβZu)R1(yXβZu)+log|G|+uG1u
Unterscheiden nach zufälligen und festen Effekten: Nachdem beide gleich Null gesetzt wurden, mit einigen geringfügigen Änderungen Beim Anordnen erhalten wir Hendersons gemischte Modellgleichungen:
logLu=ZR1(yXβZu)G1ulogLβ=XR1(yXβZu)

ZR1y=ZR1Xβ+u(ZR1Z+G1)XR1y=XR1Xβ+uXR1Z

Robert Long
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Vielen Dank! Macht perfekt Sinn. Nur eine Folgefrage. Da wir die Normalität von u und e annehmen , können wir die logarithmische Wahrscheinlichkeit unter Verwendung der Verbindungsdichte von u und e bilden . Innerhalb dieser Gelenkdichte haben wir eine Varianz-Kovarianz-Matrix mit G und R auf der Diagonale. Wenn wir nun ein Drei-Ebenen-Modell annehmen, wobei H die Varianz-Kovarianz-Matrix des Zufallseffekts der dritten Ebene ist, dann hätten wir G , R und H auf der Diagonale? Prost
DomB
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Robert Long