Was meinte Silverman (1981) mit "kritischer Bandbreite"?

Bei der Auswahl einer Bandbreite für einen Kernel Density Estimator ist nach meinem Verständnis die kritische Bandbreite:

"Für jede ganze Zahl k, wo 1<k<nwir die minimale Breite finden können, h(k)so dass die Kernel-Dichteschätzung höchstens k Maxima hat. Silverman nennt diese h(k)Werte" kritische Breiten ".

Ich verstehe dieses Konzept nicht intuitiv. Jede Hilfe wäre dankbar.

Vielen Dank!

Ich hasse Animationen auf Webseiten, aber diese Frage bittet um eine animierte Antwort:

Dies sind KDEs für einen Satz von drei Werten (nahe -2,5, 0,5 und 2,5). Ihre Bandbreiten variieren ständig und wachsen von klein nach groß. Beobachten Sie, wie aus drei Spitzen zwei und letztendlich eins werden.

Ein KDE legt an jedem Datenpunkt einen Stapel "Wahrscheinlichkeit" ab. Wenn sich die Bandbreite erweitert, "sinkt" der Stapel. Wenn Sie mit winzigen Bandbreiten beginnen, trägt jeder Datenwert seinen eigenen diskreten Stapel bei. Wenn die Bandbreiten zunehmen, sinken die Stapel zusammen, verschmelzen und sammeln sich übereinander (die dicke blaue Linie) und werden schließlich zu einem einzigen Stapel. Auf dem Weg ändern sich die Maxima diskontinuierlich vom Startwert von (vorausgesetzt, der Kernel hat ein einziges Maximum, was fast immer der Fall ist) zu Die kritische Breite für Maxima ist die erste (kleinste) Breite, die die KDE reduziert zu einer Kurve mit nicht mehr als Maxima.$n$$1.$$k$$k$

Wenn Sie eine wirklich große Bandbreite haben, erhalten Sie einen Peak in Ihrem KDE. Wenn Sie es ein wenig reduzieren, ist es immer noch eine Spitze. Reduzieren Sie den Wert so lange, bis Sie den Umschaltpunkt für das Hinzufügen eines zweiten Peaks erreicht haben. Diese Bandbreite beträgt .$h(1)$

Machen Sie es jetzt noch kleiner, bis Sie zur Umschaltung zwischen zwei Spitzen und drei kommen. Das ist .$h(2)$

Und so weiter.

Bei jeder Bandbreite zwischen und Sie Peaks in Ihrem KDE.$h(i-1)$$h(i)$$i$

Silverman wollte einen Namen für diesen Satz von Werten; er nannte sie kritische Bandbreiten .$h$

Dies zeigt sich beispielsweise in seinem Test auf Multimodalität.