Terminologie für den Bayes'schen posterioren Wahrscheinlichkeitsmittelwert mit einheitlichem Prior

Wenn $p \sim$ Uniform $(0,1)$ und $X \sim$ Bin $(n, p)$ , ist der hintere Mittelwert von $p$ durch $\frac{X+1}{n+2}$ .

Gibt es einen gebräuchlichen Namen für diesen Schätzer? Ich habe festgestellt, dass es viele Probleme von Menschen löst, und ich möchte Menschen auf eine Referenz verweisen können, konnte aber nicht den richtigen Namen dafür finden.

Ich erinnere mich vage daran, dass dies in einem Statistik-101-Buch so etwas wie "+ 1 / + 2-Schätzer" genannt wurde, aber das ist kein sehr durchsuchbarer Begriff.

bayesian terminology laplace-smoothing Cliff AB
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Antworten:

Mit früheren $\mathsf{Unif}(0,1) \equiv \mathsf{Beta}(\alpha_0=1,\beta_0 =1)$ und der Wahrscheinlichkeit $\mathsf{Binom}(n, \theta)$ die $x$ Erfolge in $n$ Versuchen zeigen, ist die posteriore Verteilung $\mathsf{Beta}(\alpha_n=1 + x,\; \beta_n = 1 + n - x).$ (Dies ist leicht zu erkennen, wenn man die Kernel des Prior und die Wahrscheinlichkeit multipliziert, den Kern des Posterior zu erhalten.)

Dann wird die posterior Mittelwert ist

μ_{n} = \frac{α_{n}}{α_{n} + β} = \frac{x + 1}{n + 2} .

$\mu_n = \frac{\alpha_n}{\alpha_n+\beta} = \frac{x+1}{n+2}.$

In einem Bayes'schen Kontext kann es am besten sein , nur die Terminologie posterior mean zu verwenden. (Der Median der posterioren Verteilung und das Maximum des PDF wurden auch verwendet, um die posterioren Informationen zusammenzufassen.)

Anmerkungen: (1) Hier verwenden Sie $\mathsf{Beta}(1,1)$ als nicht informative vorherige Verteilung. Aus fundierten theoretischen Gründen bevorzugen einige Bayes'sche Statistiker die Verwendung von Jeffreys vor $\mathsf{Beta}(\frac 1 2, \frac 1 2)$ als nicht informativer Prior. Dann ist der hintere Mittelwert $\mu_n = \frac{x+.5}{n+1}.$

(2) Bei der Herstellung frequentistischen Konfidenzintervalle Agresti Coull und haben vorgeschlagen , „um zwei Erfolge und zwei Ausfälle“ auf die Probe, um einen Konfidenzintervall zu erhalten auf der Grundlage der Schätzfunktion $\hat p = \frac{x+2}{n+4},$ die genaue Deckungswahrscheinlichkeiten hat (als der traditionellen Wald Intervall unter Verwendung $\hat p = \frac x n).$ David Moore hat diesin einigen seiner weit verbreiteten elementaren StatistiktextealsPlus-Vier-Schätzer bezeichnet, und die Terminologie wurde von anderen verwendet. Es würde mich nicht wundern, wenn Ihr Schätzer "plus zwei" und Jeffries "plus eins" heißt.

(3) Alle diese Schätzer haben den Effekt, dass der Schätzer auf 1/2 verkleinert wird, und wurden daher als "Schrumpfungsschätzer" bezeichnet (ein Begriff, der insbesondere in der James-Stein-Inferenz viel häufiger verwendet wird). Siehe Antwort (+1) von @Taylor.

BruceET
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Verwandte - stats.stackexchange.com/questions/185221 .

Royi

ja, aber wie hilft das bei der terminologie ?

BruceET

Es hilft bei der Ableitung, die Sie geschrieben haben, ist einfach. Ich denke, einige Leute könnten auf diese Frage stoßen, indem sie tatsächlich nach der Ableitung selbst suchen.

Royi

(2) war wirklich das, woran ich interessiert war. Ich wusste nicht, dass der Schätzer für rein häufig auftretende Rechtfertigungen vorgelegt wurde. In den Fällen, in denen ich es als Lösung vorschreibe, ist es immer so, wie man eine Wahrscheinlichkeit berechnet, wenn ein bestimmtes Multinomial noch nicht gesehen wurde (dh Clustering nach Buchstabenanzahl und ein Cluster enthält keine "z"), also nichts dazu tun mit Abdeckungswahrscheinlichkeiten von CIs. Vielen Dank!

Cliff AB

In einer praktischen Anwendung können Sie weder die Abdeckungswahrscheinlichkeit noch die durchschnittliche Länge des CI ignorieren. Andernfalls würden Sie sich über ein Allzweck-CI von 100% freuen, da die binomische Erfolgswahrscheinlichkeit das völlig uninformative Intervall

// Stimmen Sie zu, wenn Sie in diesem Kommentar klar angeben, warum Sie die Frage gestellt haben.

(0, 1) .

$(0,1).$

BruceET

Dies wird als Laplace-Glättung oder Laplace-Nachfolge-Regel bezeichnet , da Pierre-Simon Laplace damit die Wahrscheinlichkeit abschätzte, mit der die Sonne morgen wieder aufgeht: "Wir stellen also fest, dass ein Ereignis mehrmals aufgetreten ist, die Wahrscheinlichkeit, dass es erneut auftritt das nächste Mal ist gleich dieser Zahl, die um die Einheit erhöht wird, geteilt durch dieselbe Zahl, die um zwei Einheiten erhöht wird. "

Essai philosophique sur les probabilités par le marquis de Laplace

Xi'an
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(+1) als historische Referenz

BruceET

(+1) Sowohl diese als auch die Antworten von @ BruceET waren unterschiedliche, aber korrekte Antworten auf meine Frage.

Cliff AB

Man könnte es einen Schrumpfungsschätzer nennen . Der Schätzer ist näher an $.5$ als der allgegenwärtigere Stichprobenmittelwert.

Taylor
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(+1) Das ist wahr, es ist ein Schrumpfungsschätzer. Ich wollte einen bestimmten Namen für den Binomial- / Multinomialfall, damit ich andere Forscher auf Material zu diesem genauen Schätzer verweisen kann, damit sie nicht glauben, ich sage nur "Addiere 1 zu den Dingen, bis du die gewünschte Antwort bekommst", sondern auch Sie müssen nicht von vorne beginnen, um zu erklären, was Bayes'sche Statistik ist.

Cliff AB