Wie ist die Verteilung der Differenz zweier nicht zentraler Student t-Variablen?

Lassen $X_1$ und $X_2$ iid nicht zentrale t Zufallsvariablen sein.

Ich interessiere mich für die Frage: Was ist die Verteilung von $X_1 - X_2$?

dh wie ist die Verteilung der Differenz zweier nicht zentraler Student t-Variablen?

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Annehmen $d$ ist eine beobachtete Schätzung für beide $X1$ oder $X2$im RCode die Wahrscheinlichkeitsfunktion für$d$ wird sein:

likelihood = function(x) dt(d*sqrt(N), df, ncp = x*sqrt(N))

wo d = an observed estimate of X1 or X2, x = parameter range (-Inf to Inf), N = sample size, und df = N - 1.

PS dt(x,df,ncp) ist das PDF einer nicht zentralen t-Verteilung, wobei das dritte Argument ncpder nicht zentrale Parameter ist.

Sieht so aus, als wäre ich etwas spät dran. Wie auch immer, gemäß Owen (DB Owen, "Ein Überblick über Eigenschaften und Anwendungen der nichtzentralen t-Verteilung", Technometrics 10 (1968) 445-478), wenn x nichtzentral t-verteilt ist und$\nu > 2$, dann

$$var[x] = \frac{\nu}{\nu-2}+\delta^2[\frac{\nu}{\nu-2}-\frac{\nu}{2}\frac{\Gamma^2((\nu-1)/2)}{\Gamma^2(\nu/2)}]$$ wo $\nu = df$ und $\delta = NCT$ist der Nicht-Zentralitätsparameter. Verwenden von$\nu = 10$ und $\delta = 5$, var [x] = 3,1386, so dass die Varianz der Differenz von zwei davon 6,2773 beträgt. Ich habe generiert$10^7$dieser Unterschiede und gruppierte sie in ein Histogramm, das unten gezeigt wird. Die Varianz der$10^7$Unterschiede betrug 6,2779. Leider habe ich keine Ahnung, welche Funktion das Histogramm annähert.

Da Sie R verwenden und keine genaue Lösung benötigen, ist das distrPaket für R möglicherweise hilfreich, zumindest zum Erkunden.

Für feste Freiheitsgrade und Nicht-Zentralitätsparameter können Sie mit Code wie dem folgenden beginnen:

library(distr)

d1 <- Td(df=10, ncp=5)
d2 <- Td(df=10, ncp=5)

plot(d1)

dd <- d1 - d2
plot(dd)

Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Nicht-Zentralität in Abhängigkeit von x einbeziehen soll.