Var (X) ist bekannt, wie wird Var (1 / X) berechnet?

Wenn ich nur $\mathrm{Var}(X)$ , wie kann ich berechnen $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$?

Ich habe keine Informationen über die Verteilung von $X$ , daher kann ich keine Transformation oder andere Methoden verwenden, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ .

Es ist unmöglich.

Betrachten Sie eine Folge $X_n$ von Zufallsvariablen, wobei

$$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$$

Dann:

$$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$$

Aber $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$nähert sich Null, wenn$n$gegen unendlich geht:

$$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$$

In diesem Beispiel wird die Tatsache , dass $\Var(X)$ unter Übersetzungen invariant ist $X$ , aber $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$ist nicht.

Aber selbst wenn wir davon ausgehen , $\mathrm{E}(X)=0$ , können wir nicht berechnen $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$: Lass

$$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

und

$$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$$

Dann sich 1 nähert , wie n gegen unendlich geht, aber V eine R ( $\Var(X_n)$$n$für allen.$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$$n$

Mit Taylor-Reihen können Sie die Momente niedriger Ordnung einer transformierten Zufallsvariablen approximieren. Wenn die Verteilung um den Mittelwert (in einem bestimmten Sinne) ziemlich eng ist, kann die Annäherung ziemlich gut sein.

Also zum Beispiel

$$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$$

so

$$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$$

oft wird nur die erste Amtszeit genommen

$$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$$

In diesem Fall (vorausgesetzt, ich habe keinen Fehler gemacht) mit ,Var[$g(X)=\frac{1}{X}$.$\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipedia: Taylor-Erweiterungen für die Momente der Funktionen von Zufallsvariablen

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Einige Beispiele zur Veranschaulichung. Ich werde zwei (gamma-verteilte) Samples in R erzeugen, eines mit einer weniger engen Verteilung über den Mittelwert und eines etwas enger.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

Die Approximation schlägt die Varianz von sollte in der Nähe sein , ( 1 / 10 ) , 4 × 10 = $1/a$$(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

Algebraische Berechnung hat , dass die tatsächliche Populationsvarianz ist $1/648 \approx 0.00154$

Nun zum engeren:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

Die Approximation schlägt die Varianz von sollte in der Nähe sein , ( 1 / 10 ) , 4 × 1 = $1/a$$(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

Die algebraische Berechnung zeigt, dass die Populationsvarianz des Kehrwerts 10 2 beträgt$\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$ .