Sind Unterschiede zwischen gleichmäßig verteilten Zahlen gleichmäßig verteilt?

Wir werfen viele Male einen 6-seitigen Würfel.

Wenn Sie die Differenz (den absoluten Wert) zwischen einer Rolle und ihrer vorhergehenden Rolle berechnen, werden die Differenzen voraussichtlich gleichmäßig verteilt?

Zur Veranschaulichung mit 10 Rollen:

roll num  result diff
1           1     0
2           2     1
3           1     1
4           3     2
5           3     0
6           5     2
7           1     4
8           6     5
9           4     2
10          4     0

Würden die diffWerte gleichmäßig verteilt sein?

Nein, es ist nicht einheitlich

Sie können die ebenso wahrscheinlichen Möglichkeiten für die absoluten Unterschiede zählen$36$

     second 1   2   3   4   5   6
first                           
1           0   1   2   3   4   5
2           1   0   1   2   3   4
3           2   1   0   1   2   3
4           3   2   1   0   1   2
5           4   3   2   1   0   1
6           5   4   3   2   1   0

Dies ergibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die absoluten Differenzen von

0    6/36  1/6
1   10/36  5/18
2    8/36  2/9
3    6/36  1/6
4    4/36  1/9
5    2/36  1/18

Wenn man nur die grundlegendsten Axiome über Wahrscheinlichkeiten und reelle Zahlen verwendet, kann man eine viel stärkere Aussage beweisen:

Die Differenz zweier unabhängiger, gleichverteilter nichtkonstanter Zufallswerte $X-Y$ niemals eine diskrete Gleichverteilung.

(Eine analoge Aussage für stetige Variablen ist bei Uniform PDF über die Differenz von zwei rv bewiesen .)

Die Idee ist, dass die Wahrscheinlichkeit, dass $X-Y$ ein Extremwert ist, geringer sein muss als die Wahrscheinlichkeit, dass $X-Y$ Null ist, da es nur einen Weg gibt, um $X-Y$ maximieren (sagen), während es viele Wege gibt, den Unterschied Null zu machen , weil $X$ und $Y$ die gleiche Verteilung haben und sich daher gleichen können. Hier sind die Details.

Zunächst ist zu beachten, dass die beiden hypothetischen Variablen $X$ und $Y$ mit positiver Wahrscheinlichkeit jeweils nur eine endliche Anzahl $n$ von Werten erreichen können, da es mindestens $n$ deutliche Unterschiede gibt und eine gleichmäßige Verteilung ihnen alle gleiche Wahrscheinlichkeiten zuweist. Wenn $n$ unendlich ist, dann ist dies auch die Anzahl möglicher Differenzen mit positiver, gleicher Wahrscheinlichkeit, von denen die Summe ihrer Chancen unendlich ist, was unmöglich ist.

Als nächstes , da die Anzahl der Unterschiede endlich ist, wird es eine größte unter ihnen sein. Der größte Unterschied kann nur erreicht werden , wenn der kleinste Wert des Subtrahierens $Y$ --let Ruf es $m$ und nehme an, es hat Wahrscheinlichkeit $q = \Pr(Y=m)$ --from den größten Wert von --let Anruf ist das , dass ein mit Da und unabhängig voneinander sind, ist die Chance für diesen Unterschied das Produkt dieser Chancen,$X$$M$$p = \Pr(X=M).$$X$$Y$

Schließlich , da und die gleiche Verteilung haben, gibt es viele Möglichkeiten , um ihre Differenzen den Wert erzeugen kann Unter diesen Möglichkeiten sind die Fälle , in denen und Da diese Verteilung nicht konstant ist,$X$$Y$$0.$$X=Y=m$$X=Y=M.$$m$ unterscheidet sich von $M.$Dies zeigt, dass diese beiden Fälle disjunkte Ereignisse sind und daher mindestens einen Betrag $p^2 + q^2$ zur Wahrscheinlichkeit beitragen müssen, dass $X-Y$ Null ist; das ist,

Da Quadrate der Zahlen nicht negativ, $0 \le (p-q)^2,$ von wo aus man ableiten , $(*)$ , dass

zeigt, dass die Verteilung von $X-Y$ nicht gleichmäßig ist, QED.

Als Antwort auf einen Kommentar bearbeiten

Eine ähnliche Analyse der absoluten Differenzen $|X-Y|$stellt fest, dass m = - M ist , weil $X$ und $Y$ die gleiche Verteilung haben . Dies erfordert, dass wir Pr ( X - Y = | M - m | ) = 2 p q studieren . Die gleiche algebraische Technik liefert fast das gleiche Ergebnis, es besteht jedoch die Möglichkeit, dass 2 p q = 2 p q + ( p$m=-M.$$\Pr(X-Y=|M-m|) = 2pq.$$2pq=2pq+(p-q)^2$ und$2pq+p^2+q^2=1.$ Das Gleichungssystem die einzigartige Lösung hat$p=q=1/2$ auf eine faire Münze entspricht (ein "zweiseitiger Würfel"). Abgesehen von dieser Ausnahme ist das Ergebnis für die absoluten Differenzen das gleiche wie für die Differenzen und aus den gleichen bereits angegebenen Gründen: Nämlich, die absoluten Differenzen zweier iid-Zufallsvariablen können nicht gleichmäßig verteilt werden, wenn es mehr als zwei verschiedene Differenzen gibt mit positiver Wahrscheinlichkeit.

(Ende der Bearbeitung)

Wenden wir dieses Ergebnis auf die Frage an, die nach etwas Komplexerem fragt.

Modelliere jeden unabhängigen Würfelwurf (der ein unfairer Würfel sein könnte) mit einer Zufallsvariablen $X_i,$ $i=1, 2, \ldots, n.$ Die Unterschiede, die bei diesen $n$ Walzen beobachtet werden, sind die Zahlen $\Delta X_i = X_{i+1}-X_i.$ Wir fragen uns vielleicht, wie gleichmäßig diese $n-1$ Zahlen verteilt sind. Das ist wirklich eine Frage zu den statistischen Erwartungen: Wie hoch ist die erwartete Anzahl von $\Delta X_i$das sind zum beispiel gleich null? Was ist die erwartete Anzahl von $\Delta X_i$ gleich $-1$ ? Usw.

Der problematische Aspekt dieser Frage ist , dass die $\Delta X_i$ ist nicht unabhängig: beispielsweise $\Delta X_1 = X_2-X_1$ und $\Delta X_2 = X_3 - X_2$ beinhalten die gleiche Rolle $X_2.$

$k$$k$$n$$n-1$$k$$\Pr(\Delta X_i = k)$$i$$k$) genau dann, wenn sie für ein einzelnes $\Delta X_i.$ Wir haben jedoch gesehen, dass kein $\Delta X_i$ eine gleichmäßige Verteilung aufweist, selbst wenn der Chip vorgespannt sein könnte. Selbst in diesem schwächeren Sinne der erwarteten Frequenzen sind die Unterschiede der Walzen nicht gleichmäßig.

Auf einer intuitiven Ebene kann ein zufälliges Ereignis nur dann gleichmäßig verteilt werden, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Ist das für das fragliche zufällige Ereignis der Fall - absoluter Unterschied zwischen zwei Würfeln?

In diesem Fall reicht es aus, die Extreme zu betrachten - was sind die größten und kleinsten Werte, die dieser Unterschied annehmen könnte?

Offensichtlich ist 0 die kleinste (wir betrachten absolute Unterschiede und die Rollen können gleich sein) und 5 die größte ( 6vs 1).

Wir können zeigen, dass das Ereignis nicht einheitlich ist, indem wir zeigen, dass 0mehr (oder weniger) wahrscheinlich sind als 5.

Auf einen Blick gibt es nur zwei Möglichkeiten, wie 5 auftreten kann - wenn der erste Würfel 6 ist und der zweite 1, oder umgekehrt . Auf wie viele Arten kann 0 auftreten?

Wie von Henry dargestellt, sind Unterschiede gleichmäßig verteilter Verteilungen nicht gleichmäßig verteilt.

Um dies mit simulierten Daten zu veranschaulichen, können wir ein sehr einfaches R-Skript verwenden:

barplot(table(sample(x=1:6, size=10000, replace=T)))

Wir sehen, dass dies tatsächlich eine gleichmäßige Verteilung ergibt. Betrachten wir nun die Verteilung der absoluten Differenzen zweier Zufallsstichproben aus dieser Verteilung.

barplot(table(abs(sample(x=1:6, size=10000, replace=T) - sample(x=1:6, size=10000, replace=T))))

Andere haben die Berechnungen bearbeitet, ich werde Ihnen eine Antwort geben, die mir intuitiver erscheint. Sie wollen die Summe zweier Gleichungen aus rv (Z = X + (-Y)) untersuchen. Die Gesamtverteilung ist das (diskrete) Faltungsprodukt:

$z$$k$$z$

Aus der Signalverarbeitung wissen wir, wie sich das Faltungsprodukt verhält:

• Das Faltungsprodukt zweier gleichförmiger Funktionen (zwei Rechtecke) ergibt ein Dreieck. Dies wird durch Wikipedia für kontinuierliche Funktionen veranschaulicht:

• $z$$z$

• Allgemeiner wissen wir, dass die einzigen Funktionen, die durch Faltung stabil sind, die der Gaußschen Familie sind. dh nur die Gaußsche Verteilung ist durch Addition (oder allgemeiner durch lineare Kombination) stabil. Dies bedeutet auch, dass Sie beim Kombinieren von Gleichverteilungen keine Gleichverteilung erhalten.

Die Antwort auf die Frage, warum wir diese Ergebnisse erhalten, liegt in der Fourrier-Zerlegung dieser Funktionen. Die Fourrier-Transformation eines Faltungsprodukts ist das einfache Produkt der Fourrier-Transformationen jeder Funktion. Dies gibt direkte Verbindungen zwischen den Fourier-Koeffizienten der Rechteck- und Dreieckfunktionen.

$x$$y$$|x-y| = k$$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$$k$

Wie Sie leicht sehen können, ist die Anzahl der Punkte für jede Farbe nicht gleich. Daher sind die Unterschiede nicht gleichmäßig verteilt.

$D_t$$X$$P(D_t = 5) = P(X_t = 6, X_{t-1} = 1) < P((X_t, X_{t-1}) \in \{(6, 3), (5, 2)\}) < P(D_t = 3)$

$P(D_t = d)$$d$