Andere Verteilungen als die Normalverteilung, bei denen Mittelwert und Varianz unabhängig sind

Ich habe mich gefragt, ob es neben der Normalverteilung auch Verteilungen gibt, bei denen der Mittelwert und die Varianz unabhängig voneinander sind (oder mit anderen Worten, bei denen die Varianz keine Funktion des Mittelwerts ist).

distributions Wolfgang
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Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstehe. Fragen Sie sich, ob es außer der Normalverteilung noch Verteilungen gibt, die durch den Mittelwert und die Varianz vollständig spezifiziert sind? In gewissem Sinne ist die Varianz eine Funktion des Mittelwerts, da sie ein Maß für die Streuung um den Mittelwert ist, aber ich denke, Sie haben das nicht im Sinn.

Sie meinen den Stichprobenmittelwert

und Stichprobenvarianz

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

sind unabhängig. Gute Frage ! Vielleicht hält die Projektion einer Gaußschen Zufallsvariablen die Unabhängigkeit?

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

Robin Girard

Srikant ist richtig. Wenn die Frage nach "Stichprobenmittelwert und Varianz" lautet, lautet die Antwort "Nein". Wenn die Frage nach dem Populationsmittelwert und der Varianz lautet, lautet die Antwort Ja. David gibt unten gute Beispiele.

Nur um zu verdeutlichen, was ich damit meinte, ist dies. Für die Normalverteilung charakterisieren der Mittelwert

und die Varianz

die Verteilung vollständig und

ist keine Funktion von

. Bei vielen anderen Distributionen ist dies nicht der Fall. Zum Beispiel haben wir für die Binomialverteilung den Mittelwert

und die Varianz

, die Varianz ist also eine Funktion des Mittelwerts. Andere Beispiele sind die Gamma - Verteilung mit den Parametern

(Skala) und

(Form), wobei der Mittelwert

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$ und die Varianz

, so dass die Varianz ist eigentlich

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$

Wolfgang

Bitte überlegen Sie sich dann, Ihre Frage zu ändern, da die von Ihnen als Ihre bevorzugte Antwort ausgewählte Antwort die Frage nicht so beantwortet, wie sie ist (und die andere). Derzeit verwenden Sie das Wort "unabhängig" auf eigenwillige Weise. Ihr Beispiel mit Gamma zeigt dies: Man könnte Gamma einfach in Bezug auf den Mittelwert (mu) und die Varianz (Sigma) umparametrieren, weil wir Theta = Sigma / mu und Kappa = Mu ^ 2 / Sigma gewinnen können. Mit anderen Worten, funktionale "Unabhängigkeit" der Parameter ist normalerweise bedeutungslos (mit Ausnahme von Einzelparameterfamilien).

whuber

Antworten:

Hinweis: Bitte lesen Sie die Antwort von @G. Jay Kerns und Carlin und Lewis 1996 oder Ihre bevorzugte Wahrscheinlichkeitsreferenz als Hintergrund für die Berechnung von Mittelwert und Varianz als Erwartungswert und zweitem Moment einer Zufallsvariablen.

Ein schneller Scan von Anhang A in Carlin und Lewis (1996) liefert die folgenden Verteilungen, die in dieser Hinsicht der Normalverteilung insofern ähnlich sind, als bei der Berechnung des Mittelwerts und der Varianz nicht dieselben Verteilungsparameter verwendet werden. Wie von @robin hervorgehoben, wird bei der Berechnung von Parameterschätzungen aus einer Stichprobe der Stichprobenmittelwert benötigt, um das Sigma zu berechnen.

Multivariate Normal

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = Σ

$Var(X) = \Sigma$

t und multivariate t:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = ν σ^{2} / (ν - 2)

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

Doppelt exponentiellen:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

Cauchy: Mit einer gewissen Einschränkung könnte argumentiert werden, dass der Mittelwert und die Varianz des Cauchy nicht abhängig sind.

$E(X)$ $Var(X)$

Referenz

Carlin, Bradley P. und Thomas A. Louis. 1996. Bayes and Empirical Bayes Methods for Data Analysis, 2. Aufl. Chapman und Hall / CRC, New York

David LeBauer
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In jeder Ortsskalenfamilie sind Mittelwert und Varianz auf diese Weise funktional unabhängig!

whuber

David, das doppelte Exponential ist ein hervorragendes Beispiel. Vielen Dank! Daran habe ich nicht gedacht. Die t-Verteilung ist auch ein gutes Beispiel, aber ist nicht E (X) = 0 und Var (X) = v / (v-2)? Oder haben Carlin et al. (1996) definieren eine verallgemeinerte Version der t-Verteilung, die im Mittel verschoben und mit Sigma ^ 2 skaliert ist?

Wolfgang,

Sie haben Recht, die t-Verteilung scheint häufig mit einem Mittelwert = 0 und einer Varianz = 1 charakterisiert zu sein, aber das allgemeine PDF für t, das von Carlin und Louis bereitgestellt wird, enthält ausdrücklich sowohl Sigma als auch Mu; Der Parameter nu berücksichtigt die Differenz zwischen dem Normalen und dem t.

David LeBauer

Tatsächlich lautet die Antwort "nein". Die Unabhängigkeit von Stichprobenmittelwert und Varianz kennzeichnet die Normalverteilung. Dies wurde von Eugene Lukacs in "Eine Charakterisierung der Normalverteilung", The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 4, No. 13, No. 1 (März 1942), S. 91-93.

Ich wusste das nicht, aber Feller, "Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen, Band II" (1966, S. 86), sagt, dass RC Geary dies auch bewiesen hat.

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@onestop Ich denke, es ist ein unglückliches Artefakt meines Alters. Es ist keine Untertreibung zu sagen, dass Fellers Bücher die Wahrscheinlichkeiten revolutionierten - weltweit. Ein großer Teil unserer modernen Notation ist ihm zu verdanken. Jahrzehntelang waren seine Bücher die Wahrscheinlichkeitsbücher zu studieren. Vielleicht sollten sie es immer noch sein. Übrigens: Ich habe den Titel für diejenigen hinzugefügt, die noch nichts von seinen Büchern gehört haben.

Ich habe die Frage nach einer anderen lustigen Charakterisierung gestellt ... stats.stackexchange.com/questions/4364/…

Robin Girard

Jay, danke für den Verweis auf die Arbeit von Lukacs, der gut zeigt, dass die Stichprobenverteilungen des Stichprobenmittelwerts und der Varianz nur unabhängig von der Normalverteilung sind. Was den zweiten zentralen Moment betrifft, gibt es einige Distributionen, bei denen es nicht auf den ersten Moment ankommt (David gab einige schöne Beispiele).

Wolfgang

Geary, RC (1936), "The Distribution of 'Student's Ratio' für nicht normale Stichproben", Journal der Royal Statistical Society, Suppl. 3, 178–184.

vqv