Kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung eine unendliche Standardabweichung haben?

Ich glaube, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, wobei $p[x]$

p [x]] = \frac{1}{π (1 + x^{2})}

$\begin{equation} p[x] = \frac{1}{\pi (1+x^2)} \end{equation}$

da es überall positiv ist und sich zu 1 auf . $-\infty, \infty$

Der Mittelwert ist symmetrisch 0, obwohl die Integration von auf nicht konvergiert. Das ist „verdächtig“ , da soll eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein, aber vernünftig , weil ist , die zu divergieren bekannt ist. $xp[x]$ $-\infty, \infty$ $p[x]$ $xp[x]$ $O(1/x)$

Das größere Problem besteht in der Berechnung der Standardabweichung. Da ebenfalls divergiert, da ist . $x^2 p[x]$ $x^2 p[x]$ $O(1)$

Wenn dies keine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, warum nicht? Wenn ja, ist die Standardabweichung unendlich?

Die kumulative Verteilungsfunktion ist wenn dies hilft. $\arctan[x]/\pi$

Jemand erwähnte, dass dies eine Gammaverteilung sein könnte, aber das ist mir nicht klar.

distributions standard-deviation Barrycarter
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@ user1566: Ich habe Ihre Gleichungen mit LaTex formatiert. Würden Sie überprüfen, ob ich keine Fehler eingeführt habe?

Csgillespie

Danke, das Problem ist gelöst, also kein Problem mehr, aber ja, alles sieht in Ordnung aus.

Barrycarter

Der Mittelwert eines Cauchy ist nicht Null. Tatsächlich existiert es nicht. Somit auch keiner seiner zentralen Momente.

Kardinal

Meine Antwort auf eine verwandte Frage finden Sie hier. stats.stackexchange.com/questions/232967/…

Haitao Du

Antworten:

Um Ihren Fragentitel zu beantworten: Ja, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung kann eine unendliche Standardabweichung haben (siehe unten).

Ihr Beispiel ist ein Sonderfall der Cauchy-Verteilung, deren Mittelwert oder Varianz nicht existiert. Setzen Sie den Standortparameter auf 0 und die Skala auf 1, damit der Cauchy zu Ihrem PDF gelangt.

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Es gibt einen Unterschied zwischen dem Mittelwert und der Varianz, die nicht existieren, und sie sind unendlich.

Kardinal

$[-\infty,\infty]$ $f(x)=\frac{2}{x^3}$ $[1,\infty)$

Alex R.
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