Bayesianischer Schlagdurchschnitt vor

Ich wollte eine Frage stellen, die von einer hervorragenden Antwort auf die Frage nach der Intuition für die Beta-Distribution inspiriert war . Ich wollte die Ableitung für die vorherige Verteilung für den Schlagdurchschnitt besser verstehen. Es sieht so aus, als würde David die Parameter aus dem Mittelwert und dem Bereich zurücksetzen.

Unter der Annahme, dass der Mittelwert und die Standardabweichung beträgt , können Sie und durch Lösen dieser beiden Gleichungen zurücksetzen: $0.27$ $0.18$ $\alpha$ $\beta$

\frac{α}{α + β} = 0.27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0.18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior Dimitriy V. Masterov
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Ehrlich gesagt, habe ich nur die Werte in R grafisch dargestellt, bis es richtig aussah.

David Robinson

woher bekommen Sie die Standardabweichung von 0,18?

AppleLover

Wie sind Sie auf diese Standardabweichung gekommen? Wussten Sie es schon vorher?

Maria Lawrowskaja

Antworten:

Beachte das:

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

Dies bedeutet, dass die Varianz daher als Mittelwert ausgedrückt werden kann

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

Wenn Sie einen Mittelwert von $.27$ und eine Standardabweichung von $.18$ (Varianz $.0324$ ) , berechnen Sie einfach:

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{.0324} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

Nun, da Sie die Summe kennen, $\alpha$ und $\beta$ einfach:

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Sie können diese Antwort in R überprüfen:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

David Robinson
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David, verfolgst du zufällig Baseball-Untersuchungen? Es gibt verschiedene konkurrierende Techniken, um das richtige

und

finden. Daher habe ich mich gefragt, ob Sie zu diesem Thema eine Meinung haben, wenn Sie nicht nur versuchen, ein Diagramm zu finden, das vernünftig aussieht.

α

$\alpha$

β

$\beta$

Michael McGowan

Ich folge nicht besonders der Sabermetrik - in der anderen Antwort war es nur ein sehr praktisches Beispiel für die Schätzung von p aus einem Binom mit einem Prior. Ich weiß nicht einmal, ob es in der Sabermetrie so gemacht wird, und wenn es so ist, weiß ich, dass ich viele Komponenten ausgelassen habe (Spieler mit unterschiedlichen Prioritäten, Stadionanpassungen, Gewichtung der letzten Treffer gegenüber alten ...)

David Robinson

Ich bin beeindruckt, dass Ihr Augapfel so genau war.

Dimitriy V. Masterov

Hallo David, wie kommst du von diesen Werten von

und

zu deinen Augapfelwerten im verknüpften Beitrag von 81 bzw. 219?

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

β = 3.71

$\beta = 3.71$

Alex

@Alex Die angeforderte Varianz und Standardabweichung stammen aus der obigen Frage, die eine SD von 0,18 erforderte, nicht aus dem Beta-Verteilungsposten. Wenn ich gerechnet hätte, anstatt zu blicken, hätte ich vielleicht eine SD von etwa 0,03 erraten, was Werte von 59 und 160 ergeben hätte.

David Robinson

Ich wollte dies als Kommentar zu der hervorragenden Antwort hinzufügen, aber es lief lange und wird mit der Formatierung der Antworten besser aussehen.

$(\mu, \sigma^2)$ $\mu \in [0,1]$ $\sigma^2$

Mit der gleichen Begründung wie David können wir ausdrücken

σ^{2} (α, μ) = \frac{μ^{2} (1 - μ)}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

$\alpha$ $\sigma^2$ $\mu$

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

$\alpha$ $\alpha > 0$ $\mu = \frac12$

$\mu$ $\alpha$ $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$ , dass immer mehr der Masse des PDFs nahe an 0 und 1 gebracht wird, dh näher an eine Bernoulli-Verteilung herangekommen wird, weshalb das Supremum der Varianz genau die entsprechende Bernoulli-Varianz ist.

Im Folgenden sind die gültigen Mittelwerte und Varianzen für Beta zusammengefasst:

(In der Tat ist dies auf der Wikipedia-Seite für Beta vermerkt )

MichaelChirico
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