Konzeptionelle Unterscheidung zwischen Heteroskedastizität und Nichtstationarität

Ich habe Probleme, zwischen den Konzepten der Skedastizität und der Stationarität zu unterscheiden. Nach meinem Verständnis ist die Heteroskedastizität eine unterschiedliche Variabilität in Subpopulationen, und die Nichtstationarität ist ein sich im Laufe der Zeit ändernder Mittelwert / Varianz.

Wenn dies ein korrektes (wenn auch vereinfachtes) Verständnis ist, ist Nichtstationarität einfach ein spezifischer Fall von Heteroskedastizität über die Zeit?

Um genaue Definitionen zu erhalten, sei reelle Zufallsvariablen.$X_1, \ldots, X_n$

Stationarität wird normalerweise nur definiert, wenn wir den Index der Variablen als Zeit betrachten . In diesem Fall ist die Folge von Zufallsvariablen stationär zu hat die gleiche Verteilung wie . Dies impliziert insbesondere, dass für alle die gleiche Randverteilung und damit den gleichen Randmittelwert und die gleiche Varianz haben (vorausgesetzt, sie haben ein endliches zweites Moment).$X_1, \ldots, X_{n-1}$$X_2, \ldots, X_n$$X_i$$i = 1, \ldots, n$

Die Bedeutung von Heteroskedastizität kann vom Kontext abhängen. Wenn sich die Randvarianzen des mit ändern (auch wenn der Mittelwert konstant ist), werden die Zufallsvariablen als heteroskedastisch bezeichnet, da sie nicht homoskedastisch sind.$X_i$$i$

In der Regressionsanalyse betrachten wir normalerweise die Varianz der Antwort bedingt durch die Regressoren und definieren Heteroskedastizität als nicht konstante bedingte Varianz.

$X_k$$X_{k-1}, \ldots, X_1$

Heteroskedastizität (insbesondere bedingte Heteroskedastizität) bedeutet im Allgemeinen keine Nichtstationarität.

Die Bedeutung der Heteroskedastizität (oder Homoskedastizität) hängt aus statistischer Sicht mit der Bewertung der statistischen Unsicherheit zusammen, z. B. der Berechnung von Konfidenzintervallen. Wenn Berechnungen unter der Annahme einer Homoskedastizität durchgeführt werden, während die Daten tatsächlich eine Heteroskedastizität zeigen, können die resultierenden Konfidenzintervalle irreführend sein.

Eine Zeitreihe ist stationär, wenn alle statistischen Eigenschaften nicht vom zeitlichen Ursprung abhängen. Wenn diese Anforderung nicht erfüllt ist, ist die Zeitreihe nicht stationär.

Selbst eine stationäre Zeitreihe kann nicht mit nur einem Beispielsatz beschrieben werden. Seine statistischen Eigenschaften müssen analysiert werden, indem über das Ensemble von Probendatensätzen zu unterschiedlichen Zeitpunkten gemittelt wird.

Wenn die statistischen Eigenschaften für einen einzelnen Probendatensatz gleich sind und für den Fall, dass sie durch Ensemble-Mittelung ermittelt werden, ist die Zeitreihe ergodisch.

Da statistische Eigenschaften einer heteroskedaktischen Zeitreihe zeitabhängig sind, ist sie nicht stationär und natürlich nicht ergodisch. Die für einen einzelnen Beispieldatensatz ermittelten Eigenschaften können nicht auf das vergangene und zukünftige Verhalten erweitert werden.

Im Übrigen kann die Korrelations- / Regressionsanalyse nicht auf Zeitreihen angewendet werden, da die Abhängigkeit zwischen ihnen (die Kohärenzfunktion) frequenzabhängig ist und durch (multivariate) stochastische Differenzgleichungen (Zeitbereich) oder die Frequenzantwortfunktion (en) charakterisiert werden kann. (Frequenzbereich).

Die Ausweitung der für Zufallsvariablen entwickelten Regressionsanalyse auf Zeitreihen ist fehlerhaft (siehe z. B. Bendat und Piersol, 2010; Box et al., 2015).

Es gibt 3 Grad stationär. Die schwache Form erfordert Mittelwert und Varianz werden konstant gehalten. Dies bedeutet, dass von 3 stationären Definitionen höhere Anforderungen als die Heteroskedastizität gestellt werden, da Heteroskedastizität eine konstante Varianz ohne Bezugnahme auf den Mittelwert bedeutet.

Ein Prozess kann heteroskedastisch sein. Wenn sein Mittelwert jedoch nicht konstant ist, ist der Prozess nicht (schwach) stationär.

Ein stationärer Prozess (bezeichnen wir ihn mit 'S') impliziert Homoskedastizität (bezeichnen wir ihn mit 'H'). Also S -> H.

Natürlich ist auch seine Gegenüberstellung wahr . H '-> S', dh Nichthomoskedastizität, impliziert also nicht stationär.

Aber die Umkehrung und Verneinung sind nicht wahr . Mit anderen Worten:

"Nicht stationär impliziert Nichthomoskedastizität" ist nicht wahr.

"Es gibt einen stationären Prozess, der nicht homoskedastisch ist" ist nicht wahr.