Sind die Freiheitsgrade für den Welch-Test immer geringer als der DF des gepoolten Tests?

Ich unterrichte einen Kurs über Grundlagenstatistik und wir machen den T-Test für zwei unabhängige Stichproben mit ungleichen Varianzen (Welch-Test). In den Beispielen, die ich gesehen habe, sind die angepassten Freiheitsgrade, die vom Welch-Test verwendet werden, immer kleiner oder gleich . $n_1+n_2-2$

Ist das immer der Fall? Reduziert (oder lässt) der Welch-Test immer die Freiheitsgrade des gepoolten T-Tests (gleiche Varianzen)?

Wenn bei demselben Thema die Standardabweichungen der Stichprobe gleich sind, reduzieren sich die DF des Welch-Tests auf $n_1+n_2-2$ ? Ich habe mir die Formel angesehen, aber die Algebra wurde chaotisch.

Ja.

Der Welch-Test verwendet die Satterthaite-Welch-Einstellung für die Freiheitsgrade:

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$ am begrenzt ist andere".

Hier sind die "offiziellen" Referenzen (beachten Sie, dass die obige Anpassung - die normalerweise verwendete - im zweiten Papier abgeleitet wird):

• Welch, BL (1938). "Die Bedeutung des Unterschieds zwischen zwei Mitteln, wenn die Populationsabweichungen ungleich sind". Biometrika, 29, 3/4 , S. 350–62 .
• Satterthwaite, FE (1946). "Eine ungefähre Verteilung der Schätzungen der Varianzkomponenten". Biometrics Bulletin, 2, 6 , S. 110–114 .
• Welch, BL (1947). "Die Verallgemeinerung des" Student "-Problems, wenn mehrere unterschiedliche Populationsabweichungen beteiligt sind". Biometrika, 34, 1/2 , S. 28–35 .

(Googeln kann ungated Versionen davon ergeben.)