Kann ich eine Kovarianzmatrix in Unsicherheiten für Variablen umwandeln?

Ich habe ein GPS-Gerät, das eine Rauschmessung über die Kovarianzmatrix ausgibt :$\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(Es ist auch beteiligt, aber lassen Sie uns das für eine Sekunde ignorieren.)$t$

Angenommen, ich möchte jemand anderem mitteilen, dass die Genauigkeit in jeder Richtung ( ) eine Zahl ist. . Das heißt, mein GPS kann mir usw. . Mein Verständnis ist, dass in diesem Fall impliziert, dass alle Messgrößen unabhängig voneinander sind (dh die Kovarianz) Matrix ist diagonal). Darüber hinaus ist das Finden des Vektorfehlers so einfach wie das Addieren von Quadraturfehlern (Quadratwurzel der Quadratsumme).u x , u y , u z x = ˉ x ± u x$x,y,z$$\mu_x, \mu_y, \mu_z$$x=\bar{x}\pm\mu_x$$\mu$

Was passiert, wenn meine Kovarianzmatrix nicht diagonal ist? Gibt es eine einfache Zahl , die die Auswirkungen der und Richtungen umfasst? Wie finde ich das bei gegebener Kovarianzmatrix? y $\mu_x^*$$y$$z$

Es gibt keine einzelne Zahl, die alle Kovarianzinformationen umfasst - es gibt 6 Informationen, sodass Sie immer 6 Zahlen benötigen.

Es gibt jedoch eine Reihe von Dingen, die Sie in Betracht ziehen könnten.

Erstens ist der Fehler (die Varianz) in einer bestimmten Richtung gegeben durch$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Wobei der Einheitsvektor in der Richtung von Interesse ist.$\mathbf{e}_i$

Wenn Sie sich dies für Ihre drei Basiskoordinaten ansehen, sehen Sie Folgendes:$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Der Fehler in jeder der separat betrachteten Richtungen ist also durch die Diagonale der Kovarianzmatrix gegeben. Das ist intuitiv sinnvoll - wenn ich nur eine Richtung betrachte, sollte es keinen Unterschied machen, nur die Korrelation zu ändern.

Sie haben Recht damit, dass Sie einfach Folgendes angeben:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Bedeutet keine Korrelation zwischen diesen drei Aussagen - jede Aussage für sich ist vollkommen korrekt, aber zusammengenommen wurden einige Informationen (Korrelation) gestrichen.

Wenn Sie viele Messungen mit jeweils der gleichen Fehlerkorrelation durchführen (vorausgesetzt, dies kommt von der Messausrüstung), besteht eine elegante Möglichkeit darin, Ihre Koordinaten zu drehen, um Ihre Kovarianzmatrix zu diagonalisieren. Dann können Sie Fehler in jeder dieser Richtungen separat darstellen, da sie jetzt nicht mehr korreliert sind.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich den "Vektorfehler" durch Quadraturaddition verstehen kann. Diese drei Fehler sind Fehler in unterschiedlichen Mengen - sie heben sich nicht gegenseitig auf und ich verstehe nicht, wie Sie sie zusammenfassen können. Meinst du Fehler in der Ferne?