Hausaufgabe: Bayesianische Datenanalyse: Prioritäten für beide Binomialparameter

Das Folgende ist ein Problem aus Bayesian Data Analysis 2nd ed , p. 97. Andrew Gelman hat seine Lösung nicht in den Leitfaden auf seiner Website aufgenommen und mich den ganzen Tag verrückt gemacht. Buchstäblich den ganzen Tag.

Für einige Daten , modelliert als Binomialverteilung mit Population und Wahrscheinlichkeit Parametern, die beide unbekannt sind. Das Problem stellt die Frage mit diesen Informationen: (1) Das Setzen eines Prior auf ist schwierig, da es nur positive natürliche Zahlen annimmt und daher als wird. wo \ mu ist unbekannt. (2) Um den Prior von (N, \ theta) zu definieren , haben wir \ lambda = \ mu \ theta . (Die Logik hier ist, dass es möglicherweise einfacher ist, einen Prior unter Berücksichtigung der bedingungslosen Erwartung der Beobachtungen zu formulieren, als den Mittelwert des nicht beobachteten N.$y$$N$$\theta$$N$$\Pr(N|\mu) = Poisson(\mu)$$\mu$$(N, \theta)$$\lambda=\mu\theta$$N$.) (3) Ein potentieller nicht informativer Prior ist $p(\lambda, \theta) \varpropto 1/\lambda$ .

Der Teil des Problems, an dem ich hängen bleibe, ist, wie man die Variablen transformiert und $p(N, \theta)$ .

Der Ansatz, den ich versucht habe, besteht darin, p (N, \ theta | \ lambda) p (\ lambda, \ theta) zu schreiben $p(N,\theta|\lambda)p(\lambda, \theta)$und das unerwünschte $\lambda$ durch Integration zu eliminieren, dh $p(N,\theta)=\int_0^\infty C\mu^N/(exp(\mu)\lambda N!)d\lambda$ und Ersetzen von $\mu$ durch die Beziehung $\mu=\lambda/\theta$ . Dieser Ansatz reduziert sich auf $p(N,\theta)=C/(N+1)$ , wobei $C$ die aus (3) eingeführte Proportionalitätskonstante ist.

Dieses Ergebnis betrifft mich, weil es impliziert, dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeit einiger Werte von $\theta$ und $N$ nur von $N$ und nicht von \ theta abhängt $\theta$. Darüber hinaus läuten einige vage Glocken aus meinem ziemlich heruntergekommenen multivariablen Kalkül und versuchen, mich an Jacobianer zu erinnern und Transformationen zu koordinieren, aber ich bin mir nicht sicher, ob dieser Integrationsansatz überhaupt angemessen ist.

Ich schätze Ihre Hilfe und Ihren Einblick.

Ich habe alle Fragen aus den ersten vier Kapiteln vor sechs Jahren beantwortet. Folgendes habe ich:

$p(\mu,\theta)\propto\left|\frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\right|p(\lambda,\theta)=\mu^{-1}.$

Damit

$\begin{array}{lrl}p\left(N,\theta\right) & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,N,\theta\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,\theta\right)\Pr\left(N\,|\,\mu\right)\mathrm{d}\mu\\ & \propto & \int_{0}^{\infty}\mu^{-1}\left(\frac{\mu^{N}}{N!}e^{-\mu}\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \frac{\left(N-1\right)!}{N!}=N^{-1}\end{array}$

Sie müssen sich keine Sorgen machen, dass nicht von abhängt . Dies bedeutet nur, dass der Prior für für einheitlich ist , was für einen Bernoulli-Parameter cool ist.$p(N,\theta)$$\theta$$\theta$$[0,1]$