Kovarianzmatrix für die Gaußsche Prozess- und Wishart-Verteilung

Ich lese dieses Papier über generalisierte Wishart-Prozesse (GWP) durch. Die Arbeit berechnet die Kovarianzen zwischen verschiedenen Zufallsvariablen (nach dem Gaußschen Prozess ) unter Verwendung der quadratischen exponentiellen Kovarianzfunktion, dh . Es heißt dann, dass diese Kovarianzmatrix GWP folgt.$K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$

Früher dachte ich, dass eine Kovarianzmatrix, die aus der linearen Kovarianzfunktion ( )$K(x,x') = x^Tx'$ berechnet wurde , der Wishart-Verteilung mit geeigneten Parametern folgt.

Meine Frage ist, wie können wir immer noch annehmen, dass die Kovarianz einer Wishart-Verteilung mit quadratischer exponentieller Kovarianzfunktion folgt? Was ist im Allgemeinen die notwendige Bedingung für eine Kovarianzfunktion, um eine verteilte Wishart-Kovarianzmatrix zu erzeugen?

Was verwechselt wird, ist die Kovarianzspezifikation in Bezug auf den Umgebungsraum, auf dem der Gaußsche Prozess definiert ist, und die Operation, die eine endlich dimensionale Gaußsche Zufallsvariable transformiert, um eine Wishart-Verteilung zu erhalten.

Wenn eine p- dimensionale Gaußsche Zufallsvariable (ein Spaltenvektor) mit dem Mittelwert 0 und der Kovarianzmatrix Σ ist , ist die Verteilung von W = X X T eine Wishart-Verteilung W p ( Σ , 1 ) . Es ist zu beachten, dass W eine p × p- Matrix ist. Dies ist ein allgemeines Ergebnis darüber, wie die quadratische Form x ↦ x x$\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$$p$$\Sigma$$\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$$W_p(\Sigma, 1)$$\mathbf{W}$$p \times p$

$$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$$ wandelt eine Gaußsche Verteilung in eine Wishart-Verteilung um. Es gilt für jede Wahl einer positiven definitiven Kovarianzmatrix . Wenn Sie iid Beobachtungen X 1 , … , X n haben, dann ist mit W i = X i X T i die Verteilung von W 1 + … + W n eine Wishart W p ( Σ , n ) -Verteilung. Teilen durch $\Sigma$$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$ $$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$$ $W_p(\Sigma, n)$$n$ wir dividieren, erhalten wir die empirische Kovarianzmatrix eine Schätzung von $-$$\Sigma$.

Für Gaußsche Prozesse gibt es einen Umgebungsraum, beispielsweise zur Veranschaulichung, dass es sich um , sodass die betrachteten Zufallsvariablen durch Elemente im Umgebungsraum indiziert werden. Das heißt, betrachten wir einen Prozess ( X ( x ) ) x ∈ R . Es ist Gaußsch (und der Einfachheit halber hier mit dem Mittelwert 0), wenn seine endlichen dimensionalen Randverteilungen Gaußsch sind, dh wenn X ( x 1 , … , x p ) : = ( X ( x 1 ) , … , X ( $\mathbb{R}$$(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$ für alle x 1 , ... , x p ∈ R . Die Wahl derKovarianzfunktion, wie vom OP erwähnt, bestimmt die Kovarianzmatrix, dh cov ( X ( x i ) , X ( x j ) )

$$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$$ $x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$ Ohne Berücksichtigung der Wahl von K ist die Verteilung von X ( x 1 , … , x p ) X ( x 1 , … , x p ) T ein Wishart W p ( Σ ( x 1 , … , x p $$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$$ $K$ $$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$$ -Verteilung.$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$