Gauß-Markov-Theorem: BLAU und OLS

Ich habe den Guass-Markov-Satz auf Wikipedia gelesen und gehofft, jemand könnte mir helfen, den Hauptpunkt des Satzes herauszufinden.

Wir nehmen an, dass ein lineares Modell in Matrixform gegeben ist durch: und wir suchen nach BLAU, .

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

Gemäß dieser , würde ich beschriften der "Rest" und der "Fehler". (Dh das Gegenteil der Verwendung auf der Gauß-Markov-Seite).$\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

Der OLS-Schätzer (gewöhnliche kleinste Quadrate) kann als Argument von .$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

Nun bezeichne den Erwartungsoperator. Nach meinem Verständnis sagt uns das Gauß-Markov-Theorem, dass, wenn und , dann das Argmin über alles lineare, unverzerrte Schätzer von durch denselben Ausdruck wie der angegeben OLS-Schätzer.$\mathbb{E}$$\mathbb{E}(\eta) = 0$$\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$$\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$

Dh

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

Ist mein Verständnis richtig? Und wenn ja, würden Sie sagen, dass es im Artikel eine stärkere Betonung verdient?

Ich bin nicht sicher, ob ich Ihre Frage richtig verstanden habe, aber wenn Sie beweisen möchten, dass der OLS für BLAU ist (bester linearer unverzerrter Schätzer), müssen Sie die folgenden zwei Dinge beweisen: Zuerst, dass ist unverzerrt und zweitens ist der kleinste unter allen linearen unverzerrten Schätzern.$\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

Der Beweis, dass der OLS-Schätzer unvoreingenommen ist, finden Sie hier http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

Ein Beweis dafür, dass der kleinste unter allen linearen unverzerrten Schätzern ist, finden Sie hier http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/$Var(\hat{\beta})$

Es scheint, dass meine Vermutung tatsächlich richtig war, wie bestätigt, z. B. auf Seite 375 des Buches Introductory Econometrics . Relevanter Auszug: