Frage zur inversen Varianzgewichtung

Nehmen wir an, wir wollen auf eine unbeobachtete Realisierung einer Zufallsvariablen , die normalerweise mit dem Mittelwert und der Varianz . Angenommen, es gibt eine andere Zufallsvariable (deren unbeobachtete Realisierung wir ähnlich nennen ), die normalerweise mit dem Mittelwert und der Varianz . Sei die Kovarianz von und . $x$ $\tilde x$ $\mu_x$ $\sigma^2_x$ $\tilde y$ $y$ $\mu_y$ $\sigma^2_y$ $\sigma_{xy}$ $\tilde x$ $\tilde y$

Nehmen wir nun an, wir beobachten ein Signal auf , wobei , und ein Signal auf , wobei . Angenommen, und sind unabhängig. $x$

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$

y

$y$

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$

\tilde{u}

$\tilde u$

\tilde{v}

$\tilde v$

Wie ist die Verteilung von abhängig von und ? $x$ $a$ $b$

Was ich bisher weiß: Mit der inversen Varianzgewichtung und

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

$x$ $y$ $b$ $x$

meta-analysis bad_at_math
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Dies sieht genauso aus wie die ersten Schritte zur Ableitung eines Kalman-Filters. Sie können sich die Ableitung ansehen und über den Kalman-Gewinn für die Aktualisierung der staatlichen Kovarianzschätzung nachdenken. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

EngrStudent

Danke für die Antwort! Ich habe das Dokument in Ihrem Link gelesen, sehe aber keinen Zusammenhang mit der Kalman-Filterung. Gibt es eine Chance, die Sie näher erläutern könnten? Ich schätze die Hilfe!

bad_at_math

@EngrStudent Wenn das OP mit dem Kalman-Filter nicht vertraut ist, sehe ich nicht, wie das viel helfen wird. Vielleicht könnten Sie stattdessen erklären, wie Sie das Problem angehen können, ohne sich auf die mit der KF verbundenen Besonderheiten (oder den Jargon) zu berufen, und vielleicht Ihr Verständnis davon nutzen, um hier eine Antwort auf die Besonderheiten zu geben.

Glen_b -Reinstate Monica

Cross-posted bei math.SE hier

Glen_b -Reinstate Monica

Antworten:

$x$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$ $b$

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$

a = x + u

$a=x+u$

b = y + v

$b=y+v$

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$

u

$u$

v

$v$

x

$x$

y

$y$

$x$ $a$ $b$

a.arfe
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