Wann ist eine Fisher-Z-Transformation angebracht?

Ich möchte eine Stichprobenkorrelation mit p-Werten auf Signifikanz testen$r$

$H_0: \rho = 0, \; H_1: \rho \neq 0.$

Ich habe verstanden, dass ich die Fisher-Z-Transformation verwenden kann, um dies durch zu berechnen

$z_{obs}= \displaystyle\frac{\sqrt{n-3}}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{1+r}{1-r}\right)$

und Finden des p-Wertes durch

$p = 2P\left(Z>z_{obs}\right)$

unter Verwendung der Standardnormalverteilung.

Meine Frage ist: Wie groß sollte sein, damit dies eine angemessene Transformation ist? Natürlich muss größer als 3 sein. In meinem Lehrbuch werden keine Einschränkungen erwähnt, aber auf Folie 29 dieser Präsentation heißt es, dass größer als 10 sein muss. Für die Daten, die ich in Betracht ziehen werde, habe ich etwa .$n$$n$$n$$5 \leq n \leq 10$

Bei Fragen wie diesen würde ich einfach eine Simulation ausführen und prüfen, ob sich die Werte so verhalten, wie ich es erwartet habe. Der p- Wert ist die Wahrscheinlichkeit, dass zufällig eine Stichprobe gezogen wird, die mindestens so stark von der Nullhypothese abweicht wie die von Ihnen beobachteten Daten, wenn die Nullhypothese wahr ist. Wenn wir also viele solcher Stichproben hätten und eine von ihnen einen p- Wert von 0,04 hätte, würden wir erwarten, dass 4% dieser Stichproben einen Wert von weniger als 0,04 haben. Gleiches gilt für alle anderen möglichen p- Werte.$p$$p$$p$$p$

Unten ist eine Simulation in Stata. Die Diagramme prüfen , ob die - Werte messen , was sie messen sollen, das heißt, sie zeigt , wie viel der Anteil der Proben mit p - Werte kleiner als die nominale p - Wert weicht von der Nenn p -Wertes. Wie Sie sehen, ist dieser Test bei so wenigen Beobachtungen etwas problematisch. Ob es für Ihre Forschung zu problematisch ist oder nicht, ist Ihr Urteilsvermögen.$p$$p$$p$$p$

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program define sim, rclass
    tempname z se
    foreach i of numlist 5/10 20(10)50 {
        drop _all
        set obs `i'
        gen x = rnormal()
        gen y = rnormal()
        corr x y 
        scalar `z'  = atanh(r(rho))
        scalar `se' = 1/sqrt(r(N)-3)
        return scalar p`i' = 2*normal(-abs(`z'/`se'))
    }
end

simulate p5 =r(p5)  p6 =r(p6)  p7  =r(p7)     ///
         p8 =r(p8)  p9 =r(p9)  p10 =r(p10)    ///
         p20=r(p20) p30=r(p30) p40 =r(p40)    ///
         p50=r(p50), reps(200000) nodots: sim 

simpplot p5 p6 p7 p8 p9 p10, name(small, replace) ///
    scheme(s2color) ylabel(,angle(horizontal)) 

simpplot p20 p30 p40 p50 , name(less_small, replace) ///
    scheme(s2color) ylabel(,angle(horizontal)) 

FWIW sehe ich die Empfehlung in Myers & Well (Forschungsdesign und statistische Analysen, 2. Auflage, 2003, S. 492). In der Fußnote heißt es:$N\ge 10$

Genau genommen ist die Transformation um einen Betrag r / ( 2 ( N - 1 ) ) verzerrt : siehe Pearson und Hartley (1954, S. 29). Diese Vorspannung ist im Allgemeinen vernachlässigbar, es sei denn, N ist klein und ρ ist groß, und wir ignorieren sie hier.$Z$$r/(2(N-1))$$N$$\rho$

Ich bin mir nicht sicher, ob eine Fisher's Transformation geeignet ist. Für H 0 : ρ = 0 (NB: Nullhypothese für Population ρ , nicht Probe r ), ist die Stichprobenverteilung des Korrelationskoeffizienten bereits symmetrisch, so dass keine Notwendigkeit Schiefe zu verringern, was , was des Fisher ist z Ziele zu tun, und Sie können Schüler verwenden t Annäherung.$z$$H_0: \rho=0$$\rho$$r$$z$$t$

Angenommen, Sie meinen , dann hängt die Schiefe dieser PDF vom vorgeschlagenen Wert von ρ 0 ab , sodass es dann keine allgemeine Antwort darauf gibt, wie groß n sein sollte. Außerdem hängen die Mindestwerte von n vom Signifikanzniveau α ab , auf das Sie hinarbeiten. Sie haben seinen Wert nicht angegeben.$H_0: \rho = \rho_0 \not = 0$$\rho_0$$n$$n$$\alpha$

Nicks Argument ist fair: Die Annäherungen und Empfehlungen bewegen sich immer in einer Grauzone.

Wenn also Ihre Fisher-Näherung gut (= symmetrisch) genug ist, würde ich die für t- Verteilungen geltende Grenze , wobei s die Standardabweichung der Stichprobe ist. Wenn es der Normalität nahe genug ist, wird dies zu n ≥ ( 1,96 s / ϵ ) 2 .$n\geq (t_{\alpha/2} s/\epsilon)^2$$t$$s$$n \geq (1.96 s/\epsilon)^2$