Was ist ein stationärer Prozess zweiter Ordnung?

Ich habe mich gefragt, wie sein "stationärer Prozess zweiter Ordnung" in Brockwell und Davis ' Einführung in Zeitreihen und Prognosen definiert ist :

Die Klasse der linearen Zeitreihenmodelle, zu der auch die Klasse der autoregressiven Modelle mit gleitendem Durchschnitt (ARMA) gehört, bietet einen allgemeinen Rahmen für die Untersuchung stationärer Prozesse. Tatsächlich ist jeder stationäre Prozess zweiter Ordnung entweder ein linearer Prozess oder kann durch Subtrahieren einer deterministischen Komponente in einen linearen Prozess umgewandelt werden. Dieses Ergebnis ist als Wold-Zerlegung bekannt und wird in Abschnitt 2.6 erörtert.

In Wikipedia ,

Der Fall der Stationarität zweiter Ordnung tritt auf, wenn die Anforderungen der strengen Stationarität nur auf Paare von Zufallsvariablen aus den Zeitreihen angewendet werden.

Aber ich denke, das Buch hat eine andere Definition als Wikipedia, weil das Buch Stationarity Short für Wide Sense Stationarity verwendet, während Wikipedia Stationarity Short für strenge Stationarity verwendet.

Danke und Grüße!

Abhängig davon, ob das Adjektiv seond-order als modifizierender stationärer oder zufälliger Prozess (oder beides!) Betrachtet wird, kann es hier zu einer Verwechslung von Begriffen kommen . Für einige Leute,

• Ein zufälliger Prozess zweiter Ordnung ist einer, für den E [ X 2 t ] für alle t ∈ T endlich (tatsächlich begrenzt) ist . Für uns Elektrotechniker, die zufällige Prozessmodelle bei der Untersuchung elektrischer Signale anwenden (oder falsch anwenden!), Ist E [ X 2 t ] ein Maß für die zum Zeitpunkt t abgegebene durchschnittliche Leistung$\{X_t \colon t \in \mathbb T\}$$E[X_t^2]$$t \in \mathbb T$$E[X_t^2]$$t$durch ein stochastisches Signal, und so werden alle physikalisch beobachtbaren Signale als Prozesse zweiter Ordnung modelliert. Beachten Sie, dass die Stationarität überhaupt nicht erwähnt wurde und diese Prozesse zweiter Ordnung möglicherweise stationär sind oder nicht.

• Ein zufälliger Prozess, der stationär zu Ordnung und den wir als stationären Zufallsprozess zweiter Ordnung bezeichnen können (aber vielleicht auch nicht sollten), vorausgesetzt, wir stimmen darin überein, dass ein stationärer und nicht zufälliger Prozess zweiter Ordnung modifiziert wird , ist einer, für den T eine Menge von ist reelle Zahlen, die unter Addition geschlossen werden, und die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen X t und X t + τ (wobei t , τ ∈ T ) von τ, aber nicht von t abhängen . Wie der von AO bereitgestellte Link zeigt, ist ein zufälliger Prozess auf Bestellung stationär$2$$\mathbb T$$X_t$$X_{t+\tau}$$t, \tau \in \mathbb T)$$\tau$$t$ muss nicht unbedingt stationär sein. Ein solcher Prozess ist auch nicht notwendigerweiseweithin stationär,da es keine Garantie dafür gibt, dass E [ X 2 t ] endlich ist: Betrachten Sie zum Beispiel einen streng stationären Prozess, bei dem die X t unabhängige Cauchy-Zufallsvariablen sind.$2$$E[X_t^2]$$X_t$

• Ein zufälliger Prozess zweiter Ordnung (dh endliche Potenz wie im ersten Punkt oben), der stationär zu mindestens Ordnung ist , ist weithin stationär.$2$

OK, das ist die Perspektive einer anderen Gruppe von Anwendern der Zufallsprozess-Theorie. Weitere Einzelheiten finden Sie beispielsweise in meiner Antwort auf dsp.SE.

Stationär zweiter Ordnung ist eine schwache stationäre oder stationäre Kovarianz. Siehe den folgenden Auszug aus Time Series Analysis, J. Hamilton (1994) p. 108

$(x_k,\dots,x_{k-l})$ all (for all $k$, and any $l)$ have the same expectation and covariance matrix but not necessarily the same distribution.