Standardfehler von hyperbolischen Verteilungsschätzungen nach der Delta-Methode?

In der folgenden Lösung gehe ich hyperbPivon . Außerdem sind die in den folgenden Näherungen verwendeten Varianzen einfach die quadratischen Standardfehler, die durch after berechnet werden , also . Um die Approximation mit der Delta-Methode zu berechnen , benötigen wir die partiellen Ableitungen der Transformationsfunktion s und . Die Transformationsfunktionen für und sind gegeben durch: $\pi$ summaryhyperbFit $\mathrm{Var}(X)=\mathrm{SE}(X)^2$ $g_{\alpha}(\zeta, \pi, \delta)$ $g_{\beta}(\zeta, \pi, \delta)$ $\alpha$ $\beta$

\begin{aligned} G_{α} (ζ, π, δ) & = \frac{ζ \sqrt{1 + π^{2}}}{δ} \\ G_{β} (ζ, π, δ) & = \frac{ζ π}{δ} \end{aligned}

$\begin{align} g_{\alpha}(\zeta, \pi, \delta) &=\frac{\zeta\sqrt{1 + \pi^{2}}}{\delta}\\ g_{\beta}(\zeta, \pi, \delta) &= \frac{\zeta\pi}{\delta}\\ \end{align}$ Die partiellen Ableitungen der Transformationsfunktion für lauten dann: Die partiellen Ableitungen der Transformationsfunktion für sind:

α

$\alpha$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial ζ} G_{α} (ζ, π, δ) & = \frac{\sqrt{1 + π^{2}}}{δ} \\ \frac{\partial}{\partial π} G_{α} (ζ, π, δ) & = \frac{π ζ}{\sqrt{1 + π^{2}} δ} \\ \frac{\partial}{\partial δ} G_{α} (ζ, π, δ) & = - - \frac{\sqrt{1 + π^{2}} ζ}{δ^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial \zeta} g_{\alpha}(\zeta, \pi, \delta) &=\frac{\sqrt{1+\pi^{2}}}{\delta}\\ \frac{\partial}{\partial \pi} g_{\alpha}(\zeta, \pi, \delta) &= \frac{\pi\zeta}{\sqrt{1+\pi^{2}}\delta }\\ \frac{\partial}{\partial \delta} g_{\alpha}(\zeta, \pi, \delta) &= -\frac{\sqrt{1+\pi^{2}}\zeta}{\delta^{2}}\\ \end{align}$

β

$\beta$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial ζ} G_{β} (ζ, π, δ) & = \frac{π}{δ} \\ \frac{\partial}{\partial π} G_{β} (ζ, π, δ) & = \frac{ζ}{δ} \\ \frac{\partial}{\partial δ} G_{β} (ζ, π, δ) & = - - \frac{π ζ}{δ^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial \zeta} g_{\beta}(\zeta, \pi, \delta) &=\frac{\pi}{\delta}\\ \frac{\partial}{\partial \pi} g_{\beta}(\zeta, \pi, \delta) &= \frac{\zeta}{\delta }\\ \frac{\partial}{\partial \delta} g_{\beta}(\zeta, \pi, \delta) &= -\frac{\pi\zeta}{\delta^{2}}\\ \end{align}$

Wenn wir die Delta-Methode auf die Transformationen anwenden, erhalten wir die folgende Näherung für die Varianz von (nehmen Sie Quadratwurzeln, um die Standardfehler zu erhalten): Die ungefähre Varianz von ist: $\alpha$

V. ein r (α) \approx \frac{1 + π^{2}}{δ^{2}} \cdot V. ein r (ζ) + \frac{π^{2} ζ^{2}}{(1 + π^{2}) δ^{2}} \cdot V. ein r (π) + \frac{(1 + π^{2}) ζ^{2}}{δ^{4}} \cdot V. ein r (δ) + 2 \times [\frac{π ζ}{δ^{2}} \cdot C. Ö v (π, ζ) - - \frac{(1 + π^{2}) ζ}{δ^{3}} \cdot C. Ö v (δ, ζ) - - \frac{π ζ^{2}}{δ^{3}} \cdot C. Ö v (δ, π)]]

$\mathrm{Var}(\alpha)\approx \frac{1+\pi^{2}}{\delta^{2}}\cdot \mathrm{Var}(\zeta)+\frac{\pi^{2}\zeta^{2}}{(1+\pi^{2})\delta^{2}}\cdot \mathrm{Var}(\pi) + \frac{(1+\pi^{2})\zeta^{2}}{\delta^{4}}\cdot \mathrm{Var}(\delta) + \\ 2\times \left[ \frac{\pi\zeta}{\delta^{2}}\cdot \mathrm{Cov}(\pi,\zeta) - \frac{(1+\pi^{2})\zeta}{\delta^{3}}\cdot \mathrm{Cov}(\delta,\zeta)- \frac{\pi\zeta^{2}}{\delta^{3}}\cdot \mathrm{Cov}(\delta,\pi)\right]$

β

$\beta$

V. ein r (β) \approx \frac{π^{2}}{δ^{2}} \cdot V. ein r (ζ) + \frac{ζ^{2}}{δ^{2}} \cdot V. ein r (π) + \frac{π^{2} ζ^{2}}{δ^{4}} \cdot V. ein r (δ) + 2 \times [\frac{π ζ}{δ^{2}} \cdot C. Ö v (π, ζ) - - \frac{π^{2} ζ}{δ^{3}} \cdot C. Ö v (δ, ζ) - - \frac{π ζ^{2}}{δ^{3}} \cdot C. Ö v (π, δ)]]

$\mathrm{Var}(\beta)\approx \frac{\pi^{2}}{\delta^{2}}\cdot \mathrm{Var}(\zeta) + \frac{\zeta^{2}}{\delta^{2}}\cdot \mathrm{Var}(\pi) + \frac{\pi^{2}\zeta^{2}}{\delta^{4}}\cdot \mathrm{Var}(\delta) + \\ 2\times \left[ \frac{\pi\zeta}{\delta^{2}}\cdot \mathrm{Cov}(\pi,\zeta) - \frac{\pi^{2}\zeta}{\delta^{3}}\cdot \mathrm{Cov}(\delta, \zeta) - \frac{\pi\zeta^{2}}{\delta^{3}}\cdot \mathrm{Cov}(\pi, \delta) \right]$

Codierung in R

Der schnellste Weg, um die obigen Näherungen zu berechnen, ist die Verwendung von Matrizen. Bezeichne den Zeilenvektor, der die partiellen Ableitungen der Transformationsfunktion für oder in Bezug auf . Ferner bezeichne die Varianz-Kovarianz-Matrix von . Die Kovarianzmatrix kann durch Eingabe abgerufen werden , wo die angepasste Funktion ist. Die obige Annäherung der Varianz von ist dann Dasselbe gilt für die Approximation der Varianz von $D$ $\alpha$ $\beta$ $\zeta, \pi, \delta$ $\Sigma$ $3\times 3$ $\zeta, \pi, \delta$ vcov(my.hyperbFit)my.hyperbFit $\alpha$

V. ein r (α) \approx {D.}_{α} Σ {D.}_{α}^{⊤}

$\mathrm{Var}(\alpha)\approx D_{\alpha}\Sigma D_{\alpha}^\top$

β

$\beta$ .

In Rkann dies einfach wie folgt codiert werden:

#-----------------------------------------------------------------------------
# The row vector D of the partial derivatives for alpha
#-----------------------------------------------------------------------------

D.alpha <- matrix(
  c(
    sqrt(1+pi^2)/delta,                 # differentiate wrt zeta
    ((pi*zeta)/(sqrt(1+pi^2)*delta)),   # differentiate wrt pi
    -(sqrt(1+pi^2)*zeta)/(delta^2)      # differentiate wrt delta
  ),
  ncol=3)

#-----------------------------------------------------------------------------
# The row vector D of the partial derivatives for beta
#-----------------------------------------------------------------------------

D.beta <- matrix(
  c(
    (pi/delta),            # differentiate wrt zeta
    (zeta/delta),          # differentiate wrt pi
    -((pi*zeta)/delta^2)   # differentiate wrt delta
  ),
  ncol=3)

#-----------------------------------------------------------------------------
# Calculate the approximations of the variances for alpha and beta
# "sigma" denotes the 3x3 covariance matrix
#-----------------------------------------------------------------------------

var.alpha <- D.alpha %*% sigma %*% t(D.alpha) 
var.beta <- D.beta %*% sigma %*% t(D.beta)

#-----------------------------------------------------------------------------
# The standard errors are the square roots of the variances
#-----------------------------------------------------------------------------

se.alpha <- sqrt(var.alpha)
se.beta <- sqrt(var.beta)

Verwenden von und $\log(\zeta)$ $\log(\delta)$

Wenn die Standardfehler / -abweichungen nur für und anstelle von und verfügbar sind , ändern sich die Transformationsfunktionen in : Die partiellen Ableitungen der Transformationsfunktion für sind dann: $\zeta^{*}=\log(\zeta)$ $\delta^{*}=\log(\delta)$ $\zeta$ $\delta$

\begin{aligned} G_{α} (ζ^{*}, π, δ^{*}) & = \frac{\exp (ζ^{*}) \sqrt{1 + π^{2}}}{\exp (ζ^{*})} \\ G_{β} (ζ^{*}, π, δ^{*}) & = \frac{\exp (ζ^{*}) π}{\exp (δ^{*})} \end{aligned}

$\begin{align} g_{\alpha}(\zeta^{*}, \pi, \delta^{*}) &=\frac{\exp(\zeta^{*})\sqrt{1 + \pi^{2}}}{\exp(\zeta^{*})}\\ g_{\beta}(\zeta^{*}, \pi, \delta^{*}) &= \frac{\exp(\zeta^{*})\pi}{\exp(\delta^{*})}\\ \end{align}$

α

$\alpha$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial ζ^{*}} G_{α} (ζ^{*}, π, δ^{*}) & = \sqrt{1 + π^{2}} \exp (- - δ^{*} + ζ^{*}) \\ \frac{\partial}{\partial π} G_{α} (ζ^{*}, π, δ^{*}) & = \frac{π \exp (- - δ^{*} + ζ^{*})}{\sqrt{1 + π^{2}}} \\ \frac{\partial}{\partial δ^{*}} G_{α} (ζ^{*}, π, δ^{*}) & = - - \sqrt{1 + π^{2}} \exp (- - δ^{*} + ζ^{*}) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial \zeta^{*}} g_{\alpha}(\zeta^{*}, \pi, \delta^{*}) &=\sqrt{1+\pi^{2}}\exp(-\delta^{*}+\zeta^{*})\\ \frac{\partial}{\partial \pi} g_{\alpha}(\zeta^{*}, \pi, \delta^{*}) &=\frac{\pi\exp(-\delta^{*}+\zeta^{*})}{\sqrt{1+\pi^{2}}} \\ \frac{\partial}{\partial \delta^{*}} g_{\alpha}(\zeta^{*}, \pi, \delta^{*}) &=-\sqrt{1+\pi^{2}}\exp(-\delta^{*}+\zeta^{*})\\ \end{align}$ Die partiellen Ableitungen der Transformationsfunktion für sind:

β

$\beta$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial ζ^{*}} G_{β} (ζ^{*}, π, δ^{*}) & = π \exp (- - δ^{*} + ζ^{*}) \\ \frac{\partial}{\partial π} G_{β} (ζ^{*}, π, δ^{*}) & = \exp (- - δ^{*} + ζ^{*}) \\ \frac{\partial}{\partial δ^{*}} G_{β} (ζ^{*}, π, δ^{*}) & = - - π \exp (- - δ^{*} + ζ^{*}) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial \zeta^{*}} g_{\beta}(\zeta^{*}, \pi, \delta^{*}) &=\pi\exp(-\delta^{*}+\zeta^{*})\\ \frac{\partial}{\partial \pi} g_{\beta}(\zeta^{*}, \pi, \delta^{*}) &=\exp(-\delta^{*}+\zeta^{*})\\ \frac{\partial}{\partial \delta^{*}} g_{\beta}(\zeta^{*}, \pi, \delta^{*}) &=-\pi\exp(-\delta^{*}+\zeta^{*})\\ \end{align}$ Anwenden der Delta-Methode auf Bei den Transformationen erhalten wir die folgende Näherung für die Varianz von :

α

$\alpha$

V. ein r (α) \approx (1 + π^{2}) \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*}) \cdot V. ein r (ζ^{*}) + \frac{π^{2} \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*})}{1 + π^{2}} \cdot V. ein r (π) + (1 + π^{2}) \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*}) \cdot V. ein r (δ^{*}) + 2 \times [π \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*}) \cdot C. Ö v (π, ζ^{*}) - - (1 + π^{2}) \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*}) \cdot C. Ö v (δ^{*}, ζ^{*}) - - π \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*}) \cdot C. Ö v (δ^{*}, π)]]

$\mathrm{Var}(\alpha)\approx (1+\pi^{2})\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*})\cdot \mathrm{Var}(\zeta^{*})+\frac{\pi^{2}\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*})}{1+\pi^{2}}\cdot \mathrm{Var}(\pi) + (1+\pi^{2})\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*})\cdot \mathrm{Var}(\delta^{*}) + \\ 2\times \left[ \pi\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*})\cdot \mathrm{Cov}(\pi,\zeta^{*}) - (1+\pi^{2})\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*})\cdot \mathrm{Cov}(\delta^{*},\zeta^{*}) - \pi\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*})\cdot \mathrm{Cov}(\delta^{*},\pi)\right]$ Die ungefähre Varianz von ist:

β

$\beta$

V. ein r (β) \approx π^{2} \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*}) \cdot V. ein r (ζ^{*}) + \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*}) \cdot V. ein r (π) + π^{2} \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*}) \cdot V. ein r (δ^{*}) + 2 \times [π \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*}) \cdot C. Ö v (π, ζ^{*}) - - π^{2} \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*}) \cdot C. Ö v (δ^{*}, ζ^{*}) - - π \exp (- - 2 δ^{*} + 2 ζ^{*}) \cdot C. Ö v (δ^{*}, π)]]

$\mathrm{Var}(\beta)\approx \pi^{2}\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*})\cdot \mathrm{Var}(\zeta^{*})+\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*})\cdot \mathrm{Var}(\pi) + \pi^{2}\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*})\cdot \mathrm{Var}(\delta^{*}) + \\ 2\times \left[\pi\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*}) \cdot \mathrm{Cov}(\pi,\zeta^{*}) -\pi^{2}\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*})\cdot \mathrm{Cov}(\delta^{*},\zeta^{*}) -\pi\exp(-2\delta^{*}+2\zeta^{*}) \cdot \mathrm{Cov}(\delta^{*},\pi)\right]$

Codierung in R2

Dieses Mal sigmabezeichnet die Kovarianzmatrix, jedoch einschließlich der Varianzen und Kovarianzen für und anstelle von und . $\zeta^{*}=\log(\zeta)$ $\delta^{*}=\log(\delta)$ $\zeta$ $\delta$

#-----------------------------------------------------------------------------
# The row vector D of the partial derivatives for alpha
#-----------------------------------------------------------------------------

D.alpha <- matrix(
  c(
    sqrt(1+pi^2)*exp(-ldelta + lzeta),            # differentiate wrt lzeta
    ((pi*exp(-ldelta + lzeta))/(sqrt(1+pi^2))),   # differentiate wrt pi
    (-sqrt(1+pi^2)*exp(-ldelta + lzeta))          # differentiate wrt ldelta
  ),
  ncol=3)

#-----------------------------------------------------------------------------
# The row vector D of the partial derivatives for beta
#-----------------------------------------------------------------------------

D.beta <- matrix(
  c(
    (pi*exp(-ldelta + lzeta)),    # differentiate wrt lzeta
    exp(-ldelta + lzeta),         # differentiate wrt pi
    (-pi*exp(-ldelta + lzeta))    # differentiate wrt ldelta
  ),
  ncol=3)

#-----------------------------------------------------------------------------
# Calculate the approximations of the variances for alpha and beta
# "sigma" denotes the 3x3 covariance matrix with log(delta) and log(zeta)
#-----------------------------------------------------------------------------

var.alpha <- D.alpha %*% sigma %*% t(D.alpha) 
var.beta <- D.beta %*% sigma %*% t(D.beta)

#-----------------------------------------------------------------------------
# The standard errors are the square roots of the variances
#-----------------------------------------------------------------------------

se.alpha <- sqrt(var.alpha)
se.beta <- sqrt(var.beta)

COOLSerdash
quelle

@BenBohold Die Terme in den Klammern vor den Kovarianztermen sind die Produkte der jeweiligen partiellen Ableitungen der Transformationsfunktionen. Zum Beispiel: Der Term vor ist das Produkt der partiellen Ableitung wrt multipliziert mit der partiellen Ableitung wrt . Im Fall von wäre dies: .

C o v (π, ζ)

$\mathrm{Cov}(\pi, \zeta)$

π

$\pi$

ζ

$\zeta$

β

$\beta$

ζ / δ \times π / δ = (ζ \cdot π) / δ^{2}

$\zeta/\delta \times \pi/\delta = (\zeta\cdot\pi)/\delta^{2}$

COOLSerdash

@ BenBohold Seltsam, aber kein Problem. Versuchen Sie, die Kovarianzmatrix folgendermaßen zu berechnen : varcov <- solve(hyperbfitalv$hessian). Funktioniert das? Danach müssen Sie die Submatrix auswählen, die nur . Am einfachsten könnte ich Ihnen helfen, wenn Sie ein voll funktionsfähiges Beispiel mit Daten bereitstellen würden (Sie müssen nicht alle Ihre Daten bereitstellen).

π, ζ, δ

$\pi, \zeta, \delta$

COOLSerdash

Ein großes Dankeschön für Ihre Antwort, aber das ist genau das Problem, denn die Parametrisierung dieses Hessischen ist für log (Delta) und log (Zeta) und nicht für Delta und Zeta! Siehe meine Follow-up-Beiträge: stats.stackexchange.com/questions/67595/… und insbesondere die Antwort von CT Zhu hier stats.stackexchange.com/questions/67602/…

Jen Bohold

man muss das Hessische von pi, log (zeta), log (delta) und mu in das Hessische von pi, zeta, delta und mu bekommen. Wissen Sie, wie das gemacht werden könnte?

Jen Bohold

Ich habe auch versucht, es mit dem "falschen" Hessischen zu machen, also mit log (Delta) und log (Zeta), danach habe ich die Submatrix ausgewählt und die Berechnungen durchgeführt. Die Ergebnisse waren nicht korrekt, da die Werte viel zu groß waren, also etwa 60 000.

Jen Bohold

Standardfehler von hyperbolischen Verteilungsschätzungen nach der Delta-Methode?

Antworten:

Verwenden von undLog( ζ)Log⁡(ζ)\log(\zeta)Log( δ)Log⁡(δ)\log(\delta)

Verwenden von und $\log(\zeta)$ $\log(\delta)$