AR (1) -Prozess mit heteroskedastischen Messfehlern

1. Das Problem

Ich habe einige Messungen einer Variablen $y_t$ , wobei $t=1,2,..,n$ , für die ich eine Verteilung $f_{y_t}(y_t)$ die über MCMC erhalten wurde. Der Einfachheit halber nehme ich an, dass es sich um einen Gaußschen Mittelwert von $\mu_t$ und Varianz $\sigma_t^2$ .

Ich habe ein physikalisches Modell für diese Beobachtungen, sagen wir , aber die Residuen scheinen korreliert zu sein; Insbesondere habe ich physikalische Gründe zu der Annahme, dass ein -Prozess ausreicht, um die Korrelation zu berücksichtigen, und ich plane, die Koeffizienten der Anpassung über MCMC zu erhalten, für die ich die Wahrscheinlichkeit benötige . Ich denke, die Lösung ist ziemlich einfach, aber ich bin mir nicht sicher (es scheint so einfach, dass ich glaube, etwas zu verpassen).$g(t)$$r_t = \mu_t-g(t)$$AR(1)$

2. Ableiten der Wahrscheinlichkeit

Ein $AR(1)$ -Prozess mit dem Mittelwert Null kann wie folgt geschrieben werden:

$$X_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_t,\ \ \ (1)$$ wobei ich $\varepsilon_t\sim N(0,\sigma_w^2)$ . Die zu schätzenden Parameter sind daher $\theta = \{\phi,\sigma_w^2\}$ (in meinem Fall muss ich auch die Parameter des Modells g ( t ) addieren )$g(t)$, aber das ist nicht das Problem). Was ich beobachte, jedoch ist die Variable $$R_t = X_t+\eta_t,\ \ \ (2)$$ , wo ich gehe davon aus $\eta_t\sim N(0,\sigma_t^2)$ und die $\sigma_t^2$ sind bekannt (die Messfehler) . Da $X_t$ ein Gauß-Prozess ist, ist auch $R_t$ . Insbesondere weiß ich, dass $$X_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]),$$ daher ist $$R_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2).$$ Die nächste Herausforderung besteht darin,$R_t|R_{t-1}$ für$t\neq 1$ . Um die Verteilung dieser Zufallsvariablen abzuleiten, ist zu beachten, dass mit Gl. $(2)$ Ich kann X t schreiben $$X_{t-1} = R_{t-1}-\eta_{t-1}.\ \ \ (3)$$ Unter Verwendung von Gl. $(2)$ und unter Verwendung der Definition von Gl. $(1)$ Ich kann schreiben, $$R_{t} = X_t+\eta_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_{t}+\eta_t.$$ Mit Gl. $(3)$ in diesem letzten Ausdruck erhalte ich dann also R t | R t - 1 =φ( r t - 1 - η t - 1 )+ ε t + η t , und daher R t | R t - 1 ≤N $$R_{t} = \phi (R_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$$ $$R_t|R_{t-1} = \phi (r_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$$ Schließlich kann ich die Wahrscheinlichkeitsfunktion schreiben als L ( & thgr; ) = f R 1 ( R 1 = r 1 ) n ≤ t = 2 f R t | R t - 1 ( R t = r | R t - 1 = $$R_t|R_{t-1} \sim N(\phi r_{t-1},\sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}).$$ wobeif(⋅)die Verteilungen der Variablen sind, die ich gerade definiert habe, dh, wobei σ ′ 2 = σ 2 w / [1- ϕ 2 ]+ σ 2 t , f R 1 ( R 1 = r 1 )= $$L(\theta) = f_{R_1}(R_1=r_1) \prod_{t=2}^{n} f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1}),$$ $f(\cdot)$$\sigma'^2 = \sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2,$ und Definierenσ2(t)=σ 2 w +σ 2 t -φ2σ 2 t - 1 , fRt| Rt-1(Rt=rt|Rt-1=rt-1)= $$f_{R_1}(R_1=r_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma'^2}}\text{exp}\left(-\frac{r_1^2}{2\sigma'^2}\right),$$ $\sigma^2(t) = \sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}$ $$f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2(t)}}\text{exp}\left(-\frac{(r_t-\phi r_{t-1})^2}{2\sigma^2(t)}\right)$$

3. Fragen

1. Ist meine Ableitung in Ordnung? Ich habe keine anderen Ressourcen zum Vergleichen als Simulationen (die zu stimmen scheinen), und ich bin kein Statistiker!
2. $MA(1)$$ARMA(1,1)$$ARMA(p,q)$

1. $R_t$$R_{t-1}$$\phi r_{t-1}$$\phi \widehat{x}_{t-1}$$\widehat{x}_{t-1}$$X$$\widehat{x}_{t-1}$$r_{t-1}$$\sigma_w$$\phi$$X$$\sigma_{\eta}$$R$$X$

2. $\sigma_{\eta}$$Z=1$$d=c=0$$H_t = \sigma_{\eta,t}^2$$T=\phi$$R=1$$Q=\sigma^2_w$

Honestly, you should code this in BUGs or STAN and not worry about it from there. Unless this is a theoretical question.