Beispiel der strengen von Neumann-Ungleichung

Sei $r(\pi, \delta)$ das Bayes-Risiko eines Schätzers $\delta$ in Bezug auf ein vorheriges , sei die Menge aller Prioren auf dem Parameterraum und seiΠ Θ $\pi$$\Pi$$\Theta$$\Delta$ die Menge aller (möglicherweise) randomisierte) Entscheidungsregeln.

Die statistische Interpretation von John von Neumanns Minimax-Ungleichung besagt dies

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

mit strikter Gleichheit garantiert für einige " und " wenn$\delta'$$\pi'$$\Theta$ und beide endlich sind.$\Delta$

Kann mir jemand ein konkretes Beispiel geben wo das geht Ungleichung streng ist?

Ein Beispiel einer strengen von Neumann-Ungleichung tritt auf, wenn die Risikofunktion für einige Werte r 0 < r 1 die folgenden Bedingungen erfüllt (wobei der erstere Wert "niedrig" und der letztere "hoch" ist):$r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

Die erste Bedingung besagt, dass es unabhängig von der vorherigen immer eine Entscheidungsregel mit geringem Risiko gibt, die sup π ∈ Π inf δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r 0 ergibt . Die zweite Bedingung besagt , dass unabhängig von der Entscheidungsregel gibt es immer einige , bevor gibt hohe Risiko r 1 , das gibt inf π & egr ; & Pgr; sup δ & egr ; & Dgr; r ( π , δ ) = r 1 .$r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

Eine andere Möglichkeit, diese Situation zu beschreiben, besteht darin, dass es keine Entscheidungsregel gibt (die vor dem Anzeigen des Prior gewählt wurde), die ein geringes Risiko für jeden Prior garantiert (manchmal ist sie mit einem hohen Risiko verbunden), aber für jeden Prior gibt es eine Entscheidungsregel (die nach dem Anzeigen ausgewählt wurde) Dies garantiert ein geringes Risiko. Mit anderen Worten, um dem Risiko eine niedrige Grenze aufzuerlegen, müssen wir dies tun unsere Entscheidungsregel an die vorherige anpassen .

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Beispiel: Ein einfaches Beispiel für diese Art von Situation liegt vor, wenn Sie ein Paar zulässiger Prioritäten und ein Paar zulässiger Entscheidungsregeln δ 0 , δ 1 mit einer Risikomatrix wie der folgenden haben:$\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

In diesem Fall gibt es keine Entscheidungsregel, die ein geringes Risiko für beide Prioritäten garantiert, aber für jeden Prior gibt es eine Entscheidungsregel, die ein geringes Risiko aufweist. Diese Situation erfüllt die obigen Bedingungen, die eine strenge Ungleichung bei der von Neumann-Ungleichung ergeben.