Ist die Verteilung

Ich bin neulich über diese Dichte gelaufen. Hat jemand diesem einen Namen gegeben?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

Die Dichte ist am Ursprung unendlich und es hat auch fette Schwänze. Ich habe es als vorherige Verteilung in einem Kontext gesehen, in dem viele Beobachtungen als klein, aber auch als große Werte erwartet wurden.

distributions probability John D. Cook
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Haben Sie aus Neugier eine Quellenangabe bekommen, aus der hervorgeht, wo Sie diese ursprünglich gesehen haben?

JMS

JMS: "Der Hufeisenschätzer für spärliche Signale" von Carvalho, Polson und Scott. Ich habe es als Vorabdruck gesehen, aber möglicherweise wurde es inzwischen in Biometrika veröffentlicht. Sie verwenden diesen Prior nicht genau, aber die obige Dichte ist eine Annäherung an einen Sonderfall ihres Prior.

John D. Cook

Es wurde veröffentlicht: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .

Fabians

Welchen Sonderfall nähern Sie sich? Ich habe es gelesen, kann Ihren Ausdruck aber nicht wirklich mit den Ausdrücken in der Zeitung in Verbindung bringen ...?

Fabians

@fabians: Der Fall, den ich im Sinn hatte, war Sigma ^ 2 = tau ^ 2 = 1 in Satz 1. Es heißt, dass die Hufeisendichte oben und unten durch Vielfache von log (1 + c / x ^ 2) begrenzt ist. Vielleicht ist die oben erwähnte Verteilung eher eine Vereinfachung der Hufeisendichte als eine Annäherung.

John D. Cook

Antworten:

Tatsächlich existiert nicht einmal der erste Moment. Die CDF dieser Distribution ist gegeben durch

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x \log (\sin (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

für und symmetrisch für . Weder dies noch eine der offensichtlichen Transformationen kommen mir bekannt vor. (Die Tatsache, dass wir eine geschlossene Form für die CDF in Bezug auf elementare Funktionen erhalten können, schränkt die Möglichkeiten bereits erheblich ein, aber die etwas undurchsichtige und komplizierte Natur dieser geschlossenen Form schließt schnell Standardverteilungen oder Potenz / Log / Exponential / Trig-Transformationen von aus Der Arkustangens ist natürlich die CDF eines Cauchy (Student $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$ ) Verteilung, die diese CDF als (wesentlich) gestörte Version der Cauchy-Verteilung zeigt, dargestellt als rote Striche.)

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whuber
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- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

@whuber, obwohl ich denke, dass ich sehe, woher Sie in Bezug auf Ihre Aussage über CDFS mit geschlossenen Formularen (Hinweis: Louiville) kommen, würde ich mit dieser Bemerkung zur Vorsicht auffordern. Die Cauchy-Distribution selbst ist in dieser Hinsicht ein "Gegenbeispiel".

Kardinal

@ Kardinal Ich verstehe den Punkt Ihrer Bemerkung über die Cauchy-Verteilung nicht. Ich verwende die Form der CDF nur als Heuristik zur Einschränkung von Suchanfragen und als Ziel für Suchanfragen. Die CDF-Datei ist etwas praktischer als die PDF-Datei, da leichter erkennbar ist, wie sie sich bei der Transformation der Variablen ändert. Und ja, die Beziehung, die Sie notiert haben, ist klar, aber ich habe mich entschieden, die CDF in dieser Form zu schreiben, weil der Arcustangens im anderen Term vorhanden ist (was auf die Substitution x = tan (u) hindeutet).

Whuber

@whuber, naja, vielleicht hätte ich besser um Klarstellung gebeten, als anzunehmen. Was war Ihre Meinung zu Ihrer Bemerkung, dass ein geschlossenes PDF die Möglichkeiten stark einschränkt?

Kardinal

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

Vielleicht nicht.

Ich konnte es in dieser ziemlich umfangreichen Liste von Distributionen nicht finden:

Univariate Verteilungsbeziehungen zwischen Leemis und McQuestion 2008. Amerikanischer Statistiker 62 (1) 45:53

Abe
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