Wert, der die Standardabweichung erhöht

Die folgende Aussage verwirrt mich:

"Um die Standardabweichung einer Reihe von Zahlen zu erhöhen, müssen Sie einen Wert hinzufügen, der mehr als eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt ist."

Was ist der Beweis dafür ? Ich weiß natürlich, wie wir die Standardabweichung definieren, aber dieser Teil scheint mir irgendwie zu fehlen. Irgendwelche Kommentare?

Für alle Zahlen y 1 , y 2 , … , y N mit dem Mittelwert ˉ y = $N$$y_1,y_2, \ldots, y_N$, die Varianz ist gegeben durch σ $\displaystyle \bar{y} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i$ Anwenden von(1)auf die gegebene Menge vonnZahlenx1,x2,…xn, die wir zur Vereinfachung der Darstellung als Mittelwert vonˉ betrachtenx=0, wir haben σ2=

$$\begin{align} \sigma^2 &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (y_i-\bar{y})^2\\ &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - 2y_i\bar{y} + \bar{y}^2\right)\\ &= \frac{1}{N-1}\left[\left(\sum_{i=1}^Ny_i^2\right) - 2N(\bar{y})^2 + N(\bar{y})^2 \right] \\ \sigma^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - (\bar{y})^2\right) \tag{1} \end{align}$$ $(1)$$n$$x_1, x_2, \ldots x_n$$\bar{x} = 0$ Wenn wirdiesem Datensatznun eine neue Beobachtungxn+1hinzufügen, dann ist der neue Mittelwert des Datensatzes $$\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(x_i^2-(\bar{x})^2\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n x_i^2$$ $x_{n+1}$ , während die neue Varianz σ $$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_i = \frac{n\bar{x} + x_{n+1}}{n+1} = \frac{x_{n+1}}{n+1}$$ Also| xn+1| muss größer alsσ $$\begin{align} \hat{\sigma}^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n+1} \left(x_i^2-\frac{x_{n+1}^2}{(n+1)^2}\right)\\ &= \frac{1}{n}\left[\left((n-1)\sigma^2 + x_{n+1}^2\right) - \frac{x_{n+1}^2}{n+1}\right]\\ &= \left.\left.\frac{1}{n}\right[(n-1)\sigma^2 + \frac{n}{n+1}x_{n+1}^2\right]\\ &> \sigma^2 ~ \text{only if}~ x_{n+1}^2 > \frac{n+1}{n}\sigma^2. \end{align}$$ $|x_{n+1}|$ oder allgemeinergesagtxn+1muss sich vom Mittelwert meanxdes ursprünglichen Datensatzes um mehr alsσ$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$$x_{n+1}$$\bar{x}$ , damit der erweiterte Datensatz eine größere Varianz aufweist als der ursprüngliche Datensatz. Siehe auch die Antwort von Ray Koopman, in der darauf hingewiesen wird, dass die neue Varianz größer, gleich oder kleiner als die ursprüngliche Varianz gemäßxn+1 ist und sich vom Mittelwert um mehr, genau oder weniger alsσ$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$$x_{n+1}$ .$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$

Die rätselhafte Aussage gibt eine notwendige, aber unzureichende Bedingung für die Erhöhung der Standardabweichung an. Wenn die alte Stichprobengröße , der alte Mittelwert m ist , die alte Standardabweichung s ist und ein neuer Punkt x zu den Daten hinzugefügt wird, ist die neue Standardabweichung entsprechend s kleiner, gleich oder größer als s als | x - m | ist kleiner als, gleich oder größer als s $n$$m$$s$$x$$s$$|x-m|$ .$s\sqrt{1+1/n}$

Wenn Sie die Algebra (die auch funktioniert) beiseite lassen, denken Sie so: Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Die Varianz ist der Durchschnitt der quadratischen Abstände vom Mittelwert. Wenn wir einen Wert hinzufügen, der näher am Mittelwert liegt, wird die Varianz kleiner. Wenn wir einen Wert hinzufügen, der weiter vom Mittelwert entfernt ist, wächst er.

Dies gilt für jeden Durchschnitt von Werten, die nicht negativ sind. Wenn Sie einen Wert hinzufügen, der über dem Mittelwert liegt, erhöht sich der Mittelwert. Wenn Sie einen niedrigeren Wert hinzufügen, wird dieser verringert.

I'll get you started on the algebra, but won't take it quite all of the way. First, standardize your data by subtracting the mean and dividing by the standard deviation:

$$Z = \frac{x-\mu}{\sigma} .$$ Note that if $x$ is within one standard deviation of the mean, $Z$ is between -1 and 1. Z would be 1 if $x$ were exactly one sd away from the mean. Then look at your equation for standard deviation: $$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}Z_i^2}{N-1}}$$ What happens to $\sigma$ if $Z_N$ is between -1 and 1?