Dies ist eine sehr grundlegende Frage. Warum verwenden wir eine Chi-Quadrat-Verteilung? Was bedeutet diese Verteilung? Warum wird mit dieser Verteilung ein Konfidenzintervall für die Varianz erstellt?

An jedem Ort, an dem ich nach einer Erklärung suche, wird dies nur als eine Tatsache dargestellt, in der erklärt wird, wann Chi verwendet wird, aber nicht, warum Chi verwendet wird und warum es so aussieht, wie es aussieht.

Vielen Dank an alle, die mich in die richtige Richtung lenken können und das ist - wirklich zu verstehen, warum ich Chi verwende, wenn ich ein Konfidenzintervall für die Varianz erstelle.

Schnelle Antwort

Der Grund ist , weil unter der Annahme , die Daten sind IId und , und Definieren ˉ $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ Bei der Bildung von Konfidenzintervallen ist die mit der Stichprobenvarianz verbundene Stichprobenverteilung (S2, denken Sie daran, eine Zufallsvariable!) Eine Chi-Quadrat-Verteilung (S2(N-1)/σ2∼χ

$$\begin{eqnarray*} \bar{X}&=&\sum^N \frac{X_i}{N}\\ S^2 &=& \sum^{N} \frac{(\bar{X}-X_i)^2}{N-1} \end{eqnarray*}$$ $S^2$ ), ebenso wie die dem Stichprobenmittelwert zugeordnete Stichprobenverteilung eine Standardnormalverteilung ist (( ˉ X -μ)$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$), wenn Sie die Varianz kennen, und mit einem t-Schüler, wenn Sie keine Varianz kennen (( ˉ X -μ)$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/\sigma \sim Z(0,1)$ ).$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/S \sim T_{n-1}$

Lange Antwort

Zunächst werden wir beweisen, dass einer Chi-Quadrat-Verteilung mit N - 1 Freiheitsgradenfolgt. Danach werden wir sehen, wie dieser Beweis nützlich ist, um die Konfidenzintervalle für die Varianz abzuleiten, und wie die Chi-Quadrat-Verteilung erscheint (und warum es so nützlich ist!). Lass uns anfangen.$S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$

Der Beweis

Vielleicht müssen Sie sich dafür an die Chi-Quadrat-Verteilung in diesem Wikipedia-Artikel gewöhnen . Diese Verteilung hat nur einen Parameter: die Freiheitsgrade und zufällig eine Momenterzeugungsfunktion (MGF), die gegeben ist durch: m χ 2 ν ( t ) = ( 1 - 2 t ) - ν / 2 . Wenn wir zeigen können, dass die Verteilung von$\nu$

$$\begin{equation*} m_{\chi^2_\nu}(t)=(1-2t)^{-\nu/2}. \end{equation*}$$ eine momenterzeugende Funktion wie diese hat, jedoch mit ν $S^2(N-1)/\sigma^2$ , dann haben wir gezeigt, dass S 2 ( N - 1 ) / σ 2 einer Chi-Quadrat-Verteilung mit N - 1 Freiheitsgradenfolgt. Um dies zu zeigen, beachten Sie zwei Fakten:$\nu=N-1$$S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$

1. Wenn wir definieren, ist wobeiZi∼N(0

   $$\begin{equation*} Y = \sum \frac{(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} = \sum Z_i^2, \end{equation*}$$ , dh normale Standardzufallsvariablen, die momenterzeugende Funktion von Y ist gegeben durch m Y ( t $Z_i\sim N(0,1)$$Y$ Die MGF vonZ2ist gegeben durch m Z 2 ( t $$\begin{eqnarray*} m_Y(t) &=& \mathbb{E}[e^{tY}]\\ &=&\mathbb{E}[e^{tZ_1^2}]\times \mathbb{E}[e^{tZ_2^2}]\times ...\mathbb{E}[e^{tZ_N^2}]\\ &=&m_{Z_i^2}(t)\times m_{Z_2^2}(t)\times ...m_{Z_N^2}(t). \end{eqnarray*}$$ $Z^2$ wo ich die PDF des Standardnormal, verwendet habef(z $$\begin{eqnarray*} m_{Z^2}(t) &=& \int_{-\infty}^{\infty} f(z)\exp(tz^2)dz\\ &=&(1-2t)^{-1/2}, \end{eqnarray*}$$ und damit mY(t)=(1-2t) - N $f(z)=e^{-z^2/2}/\sqrt{2\pi}$ wasimpliziert, dass Y einer Chi-Quadrat-Verteilung mit N Freiheitsgradenfolgt. $$\begin{equation*} m_Y(t)=(1-2t)^{-N/2}, \end{equation*}$$ $Y$$N$

2. Sind und Y 2 unabhängig und verteilen sich jeweils als Chi-Quadrat-Verteilung, jedoch mit ν 1 und ν 2 Freiheitsgraden, so ist W = Y 1 + Y $Y_1$$Y_2$$\nu_1$$\nu_2$$W=Y_1+Y_2$$\nu_1+\nu_2$$W$

$N-1$

$$\begin{equation*} (N-1)S^2 = -n(\bar{X}-\mu)+\sum(X_i-\mu)^2, \end{equation*}$$ $\sigma^2$ $$\begin{equation*} \frac{(N-1)S^2}{\sigma^2}+\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/N}=\sum \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}. \end{equation*}$$ $N$$S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$

Berechnung des Konfidenzintervalls für die Varianz.

$L_1$$L_2$

$$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(L_1\leq \sigma^2 \leq L_2\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)$ $$\begin{equation*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)}. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$ $$\begin{eqnarray*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1},\\ \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2},\\ \end{eqnarray*}$$ $$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(\frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1}\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2(N-1)$ $$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}^{N-1}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \ ,\\ \int_{N-1}^{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \, \end{eqnarray*}$$ $N-1$$N-1$$N-1$ $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2,\\ \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}^{\infty}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2. \end{eqnarray*}$$ $\chi^2_{\alpha/2}=\frac{S^2(N-1)}{L_2}$$\chi^2_{1-\alpha/2}= \frac{S^2(N-1)}{L_1}$$\chi^2_{\alpha/2}$$\chi^2_{1-\alpha/2}$$L_1$$L_2$ $$\begin{eqnarray*} L_1 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}},\\ L_2 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}. \end{eqnarray*}$$ $$\begin{equation*} C.I.=\left(\frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}}, \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}\right). \end{equation*}$$