Likelihood Ratio für die Exponentialverteilung mit zwei Stichproben

8

Sei und zwei unabhängige Zufallsvariablen mit entsprechenden PDFs:XY

f(x;θi)={1θiex/θi0<x<,0<θi<0elsewhere

für . Aus diesen Verteilungen werden zwei unabhängige Proben gezogen, um gegen der Größen und zu testen . Ich muss zeigen, dass LRT als Funktion einer Statistik mit Verteilung unter .i=1,2H0:θ1=θ2H1:θ1θ2n1n2ΛFH0


Da die Größe dieser Verteilung , wird die LRT-Statistik (ich überspringe hier einige mühsame Schritte):θ^=x¯

Λ=x¯n1y¯n2(n1+n2)n1x¯+n2y¯

Ich weiß, dass die Verteilung als Quotient zweier unabhängiger Chi-Quadrat-Zufallsvariablen definiert ist, die sich jeweils über ihre jeweiligen Freiheitsgrade erstrecken. Da unter der Null steht, dann und .FXi,YiΓ(1,θ1)XiΓ(n1,θ1)YiΓ(n2,θ1)

Aber wie kann ich von hier aus vorgehen? Irgendwelche Hinweise?

Vielen Dank.

JohnK
quelle
Hinweis: Eine exponentielle Zufallsvariable ist linear mit einer Zufallsvariablen mit zwei Freiheitsgraden verbunden, und daher ist eine Zufallsvariable mit dem Ordnungsparameter linear mit einer Zufallsvariablen mit Freiheitsgraden verbunden . Γ n χ 2 2 nχ2Γnχ22n
Dilip Sarwate
@ DilipSarwate Ich kann sehen, dass . Sollte ich weitermachen und versuchen, meine Fraktion entsprechend umzuformulieren? Z=2θ1Xiχ2(2n1)
JohnK
2
Vielleicht müssen Sie die wenigen mühsamen Schritte nicht überspringen und das Wahrscheinlichkeitsverhältnis tatsächlich von Grund auf neu ableiten, anstatt zu Maximum-Likelihood- Schätzern zu springen . Dies ist ein Problem beim Testen von Hypothesen, nicht bei der Maximum-Likelihood-Schätzung eines unbekannten Parameters . θi
Dilip Sarwate
@ DilipSarwate Du hast es falsch verstanden. Ich habe diese Zwischenschritte aufgeschrieben, aber hier nicht vorgestellt. Dies erhalten Sie nach der Vereinfachung.
JohnK
2
Vielleicht können Sie mir (übrigens einem Nicht-Statistiker) zunächst erklären, was das T in LRT bedeutet.
Dilip Sarwate

Antworten:

4

Wenn Speicherplatz zur Verfügung steht, haben Sie anscheinend etwas in Ihrer LR-Statistik vergessen.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion unter der Null ist

LH0=θn1n2exp{θ1(xi+yi)}

und die MLE ist

θ^0=xi+yin1+n2=w1x¯+w2y¯,w1=n1n1+n2,w2=n2n1+n2

Also

LH0(θ^0)=(θ^0)n1n2en1n2

Alternativ ist die Wahrscheinlichkeit

LH1=θ1n1exp{θ11(xi)}θ2n2exp{θ21(yi)}

und die MLE sind

θ^1=xin1=x¯,θ^2=yin2=y¯

Also

LH1(θ^1,θ^2)=(θ^1)n1(θ^2)n2en1n2

Betrachten Sie das Verhältnis

LH1(θ^1,θ^2)LH0(θ^0)=(θ^0)n1+n2(θ^1)n1(θ^2)n2=(θ^0θ^1)n1(θ^0θ^2)n2

=(w1+w2y¯x¯)n1(w1x¯y¯+w2)n2

Die Beispielmittel sind unabhängig - daher glaube ich, dass Sie dies jetzt beenden können.

Alecos Papadopoulos
quelle
Es ist nicht sehr wichtig, aber ich denke, Sie sollten das LRT als Kehrwert des von Ihnen verwendeten Bruches definieren, siehe stats.ox.ac.uk/~dlunn/b8_02/b8pdf_8.pdf .
JohnK
Der Kehrwert wurde verwendet, weil er bei den algebraischen Manipulationen hilft. Wenn dieser Teil erledigt ist, nimmt man nur das Negative der äußeren Kräfte.
Alecos Papadopoulos
In Ordung. Um zu zeigen, dass der Bruch einer F-Verteilung folgt, reicht es aus, ihn als zu schreiben , richtig? 2XiX¯Y¯2Xi2θ1n12Yi2θ1n2
JohnK
Wenn das tatsächlich eine korrekte "Verbindung" zwischen Gammas und Chi-Quadraten ist.
Alecos Papadopoulos
Ja, Und wir müssen auch durch die Freiheitsgrade . Vielen Dank. 2n12θ1Xiχ2(2n1)2n1
JohnK
2

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Stichprobe ist gegeben durchx=(x1,,xn1,y1,,yn2)

L(θ1,θ2)=1θ1n1θ2n2exp[1θ1i=1n1xi1θ2i=1n2yi]1x>0,θ1,θ2>0

Das LR-Testkriterium zum Testen von gegen hat die FormH0:θ1=θ2H1:θ1θ2

λ(x)=supθ1=θ2L(θ1,θ2)supθ1,θ2L(θ1,θ2)=L(θ^,θ^)L(θ^1,θ^2)

wobei die MLE von (unter ) ist und die uneingeschränkte MLE von für .θ^θ1=θ2H0 θ iθii=1,2θ^iθii=1,2

Es ist leicht zu überprüfen, dass

(θ^1,θ^2)=(x¯,y¯)

und

θ^=n1x¯+n2y¯n1+n2

Nach einiger Vereinfachung erhalten wir diese Symmetrie für das LRT-Kriterium:

λ(x)=constant>0(n1x¯n1x¯+n2y¯)n1(n2y¯n1x¯+n2y¯)n2=constanttn1(1t1)n2, where t=n1x¯n1x¯+n2y¯=g(t),say

wir die Natur der Funktion , sehen wir, dassg

g(t)0tn1n1+n2

Da nun und unabhängig voneinander verteilt sind, haben wir2n1X¯/θ1χ2n122n2Y¯/θ2χ2n22

X¯Y¯H0F2n1,2n2

Definiere

v=n1x¯n2y¯

, so dass

t=vv+1v

Deshalb,

λ(x)<cv<c1 or v>c2

Gegeben kann von einiger Größenbeschränkung und der Tatsache , dass unter finden ,c1,c2H0

n2n1vF2n1,2n2

HartnäckigAtom
quelle