Ableiten des Standardfehlers des linearen Regressionskoeffizienten

Für dieses univariate lineare Regressionsmodell gegebenem Datensatz lauten die Koeffizientenschätzungen Hier ist meine Frage nach dem Buch und Wikipedia , der Standardfehler von ist Wie und warum? D = { ( x 1 , y 1 ) , . . . , ( X n , y n ) } β 1 = Σ i x i y i - n ˉ x ˉ

$$y_i = \beta_0 + \beta_1x_i+\epsilon_i$$ $D=\{(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$ β 0= ˉ y - β 1 ˉ x β 1s β 1= $$\hat\beta_1=\frac{\sum_ix_iy_i-n\bar x\bar y}{n\bar x^2-\sum_ix_i^2}$$ $$\hat\beta_0=\bar y - \hat\beta_1\bar x$$ $\hat\beta_1$ $$s_{\hat\beta_1}=\sqrt{\frac{\sum_i\hat\epsilon_i^2}{(n-2)\sum_i(x_i-\bar x)^2}}$$

3. Kommentar oben: Ich habe schon verstanden, wie es kommt. Aber noch eine Frage: In meinem Beitrag hat der Standardfehler (n-2), wo nach Ihrer Antwort nicht, warum?

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In meinem Beitrag wurde festgestellt, dass Der Nenner kann wie geschrieben werden: Somit ist

$$\widehat{\text{se}}(\hat{b}) = \sqrt{\frac{n \hat{\sigma}^2}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}}.$$ $$n \sum_i (x_i - \bar{x})^2$$ $$\widehat{\text{se}}(\hat{b}) = \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{\sum_i (x_i - \bar{x})^2}}$$

Mit dh dem mittleren quadratischen Fehler (MSE) in der ANOVA-Tabelle, erhalten wir Ihren Ausdruck für . Der Term erklärt den Verlust von 2 Freiheitsgraden bei der Schätzung des Abschnitts und der Steigung.

$$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-2} \sum_i \hat{\epsilon}_i^2$$ $\widehat{\text{se}}(\hat{b})$$n-2$

Eine andere Art, über n-2 df nachzudenken, ist, dass wir 2 Mittelwerte verwenden, um den Steigungskoeffizienten (den Mittelwert von Y und X) zu schätzen.

df aus Wikipedia: "... Im Allgemeinen sind die Freiheitsgrade einer Schätzung eines Parameters gleich der Anzahl unabhängiger Scores, die in die Schätzung eingehen , abzüglich der Anzahl von Parametern, die als Zwischenschritte bei der Schätzung des Parameters selbst verwendet werden . "