Kann eine multivariate Verteilung mit einer singulären Kovarianzmatrix eine Dichtefunktion haben?

Angenommen, eine multivariate Verteilung über hat eine singuläre Kovarianzmatrix. Können wir daraus schließen, dass es keine Dichtefunktion hat?$\mathbb R^n$

Zum Beispiel ist dies bei der multivariaten Normalverteilung der Fall, aber ich bin nicht sicher, ob dies für alle anderen multivariaten Verteilungen zutrifft.

Ich denke, dies ist eine Frage der Existenz eines Radon-Nikodym-Derivats für das Lebesgue-Maß für , aber die elementare Wahrscheinlichkeitstheorie könnte auch die Antwort haben.$\mathbb R^n$

$Y = \sum_{i=1}^n a_i X_i$$n$$E[Y] = a_0$$\operatorname{var}(Y) = 0$$\mathbb R^n$$\sum_{i=1}^n a_i x_i = a_0$$n$$n$

Ja, aber es wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über einen unterdimensionalen Unterraum sein. Sie könnten argumentieren, dass es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in R ^ N handelt, wenn Sie Dinge wie Dirac-Delta-Funktionen zulassen. Das ist ein subtiles mathematisches Problem, aber Physiker zum Beispiel tun es die ganze Zeit.

$\mathbb{R}^{n}$$\Sigma$$\Sigma$