Als Antwort auf den Fragentitel.
Bartletts Test der Sphärizität1Bei der häufig vor der PCA- oder Faktoranalyse durchgeführten Analyse wird geprüft, ob die Daten aus einer multivariaten Normalverteilung mit null Kovarianzen stammen. (Bitte beachten Sie, dass die asymptotische Standardversion des Tests der Abweichung von der multivariaten Normalität in keiner Weise standhält. Man könnte Bootstrapping mit einer nichtaussianischen Wolke verwenden.) Äquivalent ausgedrückt lautet die Nullhypothese, dass die Populationskorrelationsmatrix eine Identitätsmatrix ist oder dass die Kovarianzmatrix diagonal ist.
Stellen Sie sich nun vor, dass die multivariate Wolke perfekt sphärisch ist (dh ihre Kovarianzmatrix ist proportional zur Identitätsmatrix). Dann kann 1) jede beliebige Abmessung den Hauptkomponenten dienen, so dass die PCA-Lösung nicht eindeutig ist; 2) Alle Komponenten haben die gleichen Varianzen (Eigenwerte), so dass PCA nicht dazu beitragen kann, die Daten zu reduzieren.
Stellen Sie sich den zweiten Fall vor, in dem eine multivariate Wolke ein Ellipsoid mit einer Länglichkeit genau entlang der Achsen der Variablen ist (dh ihre Kovarianzmatrix ist diagonal: Alle Werte außer der Diagonale sind Null). Dann ist die durch die PCA-Transformation implizierte Rotation Null; Hauptbestandteile sind die Variablen selbst, die nur neu angeordnet und potentiell vorzeichenbehaftet sind. Dies ist ein triviales Ergebnis: Es wurde kein PCA benötigt, um einige schwache Dimensionen zu verwerfen, um die Daten zu reduzieren.
1Mehrere (meines Wissens mindestens drei) statistische Tests sind nach Bartlett benannt. Hier sprechen wir vom Bartlett-Sphärizitätstest.
