Formel in geschlossener Form für die Verteilungsfunktion einschließlich Schiefe und Kurtosis?

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Gibt es so eine Formel? Gibt es bei einer Reihe von Daten, für die der Mittelwert, die Varianz, die Schiefe und die Kurtosis bekannt sind oder gemessen werden können, eine einzige Formel, die zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte eines Wertes verwendet werden kann, von dem angenommen wird, dass er aus den oben genannten Daten stammt?

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@ Henry Eigentlich in den meisten k-Parameterfamilien von Distributionen mit k≤4In der Regel reichen die ersten vier Momente, die sich aus Mittelwert, Varianz, Schiefe und Kurtosis erholen lassen, aus, um die Verteilung zu bestimmen.
whuber
@whuber: Das ist für mich ein wenig kreisförmig: Beschränken von Verteilungen auf eine Familie, in der vier oder weniger Parameter vorhanden sind. In Kenntnis von vier Statistiken der Verteilung werden die Parameter häufig identifiziert. Genau. Aber einer meiner Punkte war im Wesentlichen, dass es uneingeschränkt unterschiedliche Verteilungsmöglichkeiten mit erheblich variierenden Wahrscheinlichkeitsdichten an bestimmten Punkten gibt, selbst mit denselben ersten vier Momenten insgesamt.
Henry
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Ich verstehe, was Sie meinen, Henry: Mit "anderen Verteilungen" meinen Sie im weitesten Sinne, während meine Antwort dies im Sinne von Verteilungen auffasste, die üblicherweise in der Statistik verwendet werden (die selten mehr als vier Parameter haben). Ich denke, Ihr Kodizil - "obwohl Beispiele normalerweise zu finden sind" - könnte meine engere Interpretation nahegelegt haben.
whuber

Antworten:

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Es gibt viele solche Formeln. Der erste erfolgreiche Versuch, genau dieses Problem zu lösen, wurde 1895 von Karl Pearson unternommen und führte schließlich zum System der Pearson-Verteilungen . Diese Familie kann durch den Mittelwert, die Varianz, die Schiefe und die Kurtosis parametrisiert werden. Es enthält als bekannte Spezialfälle Normal-, Student-t-, Chi-Quadrat-, Inverse Gamma- und F-Verteilungen. Kendall & Stuart Band 1 geben Details und Beispiele.

whuber
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Dies klingt nach einem "Moment-Matching" -Ansatz für die Anpassung einer Verteilung an Daten. Es wird im Allgemeinen nicht als großartige Idee angesehen (der Titel von John Cooks Blog-Post ist "eine statistische Sackgasse").

shabbychef
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Mit dem K2-Test von D'Agostino können Sie feststellen, ob eine Probenverteilung von einer Normalverteilung abhängig von der Schiefe und der Kurtosis der Probe stammt.

Wenn Sie einen Test unter der Annahme einer nicht normalen Verteilung (möglicherweise mit hoher Schiefe oder Kurtosis) durchführen möchten, müssen Sie die Verteilung ermitteln. Sie können die Schrägnormalverteilung und die verallgemeinerte Normalverteilung betrachten . Wenn Sie dies tun, berücksichtigen Sie auch andere Distributionen.

Thomas Levine
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