Wie berechnen Sie die Auswirkungen der Präzession auf elliptische Bahnen?

Keplers erstes Gesetz besagt, dass Planeten (und alle Himmelskörper, die einen anderen Körper umkreisen) sich in elliptischen Bahnen bewegen, die bekannte Formeln haben, die es relativ einfach machen, die Orbitalelemente und das damit verbundene Verhalten zu berechnen. Die anhaltende Präzession bedeutet jedoch, dass sich die Umlaufbahn ständig ändert - und der Planet sich also nicht in der Ellipse bewegt, auf der er ursprünglich gestartet war! Sie können die Präzession und die damit verbundenen Auswirkungen berechnen ( diese Frage und Antwort sind hilfreich). Gibt es jedoch eine Möglichkeit zu berechnen, wie die elliptische Umlaufbahn durch die Präzession "deformiert" wird?

Ein guter Ausgangspunkt wäre <Name eines Wissenschaftlers von vor langer Zeit einfügen> planetare Bewegungsgleichungen. Zum Beispiel gibt es Lagranges Planetengleichungen (manchmal auch Lagrange-Laplace-Planetengleichungen genannt), Gaußsche Planetengleichungen, Delaunays Planetengleichungen, Hill's Planetengleichungen und einige mehr. Das gemeinsame Thema dieser verschiedenen Planetengleichungen ist, dass sie die Zeitableitungen verschiedener Orbitalelemente als Funktion der partiellen Ableitungen der Störkraft / des Störpotentials in Bezug auf eine verallgemeinerte Position liefern.

Im Allgemeinen sind die einzigen Wörter, die das Ergebnis dieses Prozesses zunächst beschreiben können, "heißes Durcheinander". Ein heißes Durcheinander schreckte diese brillanten Köpfe der alten Zeit nicht ab. Durch verschiedene vereinfachende Annahmen und langfristige Zeitmittelung wurden relativ einfache Beschreibungen von beispielsweise (Apsidalpräzession) und (planare Präzession). Sie können einige davon in der zitierten Arbeit von Hill aus dem Jahr 1900 unten sehen.⟨d$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

Während diese Techniken alt sind, werden diese Planetengleichungen noch heute verwendet. Dass man manchmal ein "heißes Durcheinander" bekommt, ist jetzt in Ordnung, da wir Computer haben. Menschen verwenden Planetengleichungen in Verbindung mit geometrischen Integrationstechniken, um Integratoren zu erhalten, die schnell, genau und stabil sind und über lange Zeiträume Drehimpuls und Energie erhalten. (Normalerweise können Sie nicht alle diese Eigenschaften haben. Sie haben Glück, wenn Sie nur zwei oder drei erhalten.) Ein weiteres nettes Merkmal dieser Planetengleichungen ist, dass Sie damit Merkmale wie Resonanzen sehen können, die sonst durch die wahren " heißes Durcheinander "der kartesischen Bewegungsgleichungen.

Ausgewähltes Referenzmaterial, sortiert nach Datum:

Hill (1900), "Über die Erweiterung von Delaunays Methode in der Mondtheorie auf das allgemeine Problem der Planetenbewegung", Transactions of the American Mathematical Society , 1.2: 205-242.

Vallado (1997 und später), "Fundamentals of Astrodynamics and Applications", verschiedene Verlage. Abgesehen von dem Loch, das es durch Ihre Brieftasche schlägt, können Sie mit diesem Buch nichts falsch machen.

Efroimsky (2002), "Gleichungen für die Kepler-Elemente: versteckte Symmetrie", Institut für Mathematik und ihre Anwendungen

Efroimsky und Goldreich (2003), "Eichensymmetrie des N-Körper-Problems im Hamilton-Jacobi-Ansatz". Journal of Mathematical Physics , 44.12: 5958-5977.

Wyatt (2006-2009), Abschlussvorlesung über Planetensysteme, Institut für Astronomie, Cambridge.
Die Ergebnisse der Lagrange-Planetengleichungen sind auf Folie 6 dargestellt.

Ketchum et al. (2013), "Mittlere Bewegungsresonanzen in Exoplanetensystemen: Eine Untersuchung des Nickverhaltens." The Astrophysical Journal 762.2.

Die einzige wirklich konfokale elliptische Umlaufbahn ist die eines gebundenen Testteilchens im zentralen Potential oder äquivalent die von zwei punktförmigen (mit sphärisch symmetrischen inneren Massenverteilungen) Massen, die sich mit Newtonscher Schwerkraft anziehen (und negativ sind) Gesamtenergie, dh aneinander gebunden sein).$-k/r$

Alles andere ist nicht elliptisch (ungebundene Bahnen sind parabolisch oder hyperbolisch), aber die meisten Abweichungen sind gering. Kleine Abweichungen können von einer Reihe von Quellen herrühren, darunter Quadrupolterme in der Massenverteilung der Körper (insbesondere der Sonne), nicht gravitative Kräfte (Strahlungsdruck und Gaswiderstand auf Staubkörner), nicht-Newtonsche (GR) Effekte, Störungen durch andere Objekte (alle anderen Planeten). Newton selbst war sich dieses letzten Effekts bewusst.

Wenn die Abweichungen klein sind, ist die traditionelle Methode, sie abzuschätzen, die Störungstheorie , bei der man die Störkraft entlang der ungestörten (elliptischen) Umlaufbahn integriert. Um beispielsweise die Präzession des Periaps zu erhalten, könnte man die Änderungen des Exzentrizitätsvektors integrieren. Eine Drehung dieses Vektors entspricht der Periapse-Präzession. Ein Beispiel dafür finden Sie in meiner Antwort auf diese Frage .

David Hammen schrieb

Menschen verwenden Planetengleichungen in Verbindung mit geometrischen Integrationstechniken ...

Sie können auch eine einfache Finite-Step-Simulation unter Verwendung der Newtonschen Gesetze ausprobieren (wie ich es nenne), um mit Objektmassen, Positionen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zu arbeiten. Ich bin mir nicht sicher, ob dies unter das fällt, was David "geometrische Integrationstechniken" nennt. Mein Punkt ist, dass Sie es tun können, ohne die Planetengleichungen einzubeziehen. Nachteil = Der Simulator "schneidet Ecken" durch Verwendung von Näherungen und dies führt zu Verhaltensweisen im Modell, die Artefakte sind. Diese Nachteile können durch Verwendung anderer Techniken überwunden werden. Vorteil = es erleichtert das Code-Design, es vermeidet den Verdacht, dass die Planetengleichungen (und ihre Annahmen) die Show antreiben.

Sie müssen kein Experte für numerische Methoden sein, um die einfache Leapfrog-Integrationstechnik (ausführlich beschrieben in Feynman Lectures Vol. I ) zu verwenden, um die Newtonsche Präzession in Umlaufbahnen des Sonnensystems über Zeiträume von bis zu einigen Jahrhunderten zu modellieren. Durch Ausführen von Simulationen in verschiedenen Zeitschritten (z. B. ) werden die Ergebnisse in Excel geplottet, eine Kurve angepasst und auf extrapoliert$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$Sie können Ergebnisse für die langfristige durchschnittliche Newtonsche Präzession erhalten, die innerhalb von 1% der akzeptierten Zahlen liegen. Ein weiterer Vorteil gegenüber Analysemethoden, die langfristige Durchschnittsergebnisse liefern, besteht darin, dass Sie Verhaltensweisen in kürzeren Zeiträumen untersuchen können. Wenn Sie beispielsweise die Perihelrichtung gegen die Zeit für einen bestimmten Planeten (z. B. Merkur) grafisch darstellen, können Sie die periodischen Schwankungen der Präzessionsrate von Jahren sehen, die sich aus der Bewegung des Jupiter um die Sonne ergeben. Es macht auch viel Spaß (und ist sehr einfach, wenn Sie den Basiscode geschrieben haben), "Was wäre wenn?" Simulationen durch Variation der Anzahl und Eigenschaften der Körper im System und sogar durch Hinzufügen zusätzlicher nicht-Newtonscher Kräfte. $\approx 11.9$

Um Feymnan zu zitieren:

Es kann sein, dass wir in einem Berechnungszyklus je nach Problem 30 Multiplikationen oder ähnliches haben, sodass ein Zyklus 300 Mikrosekunden dauert. Das bedeutet, dass wir 3000 Rechenzyklen pro Sekunde durchführen können. Um eine Genauigkeit von beispielsweise einem Teil einer Milliarde zu erhalten, würden wir 4 × 10 ^ 5 Zyklen benötigen, um einer Umdrehung eines Planeten um die Sonne zu entsprechen. Dies entspricht einer Rechenzeit von 130 Sekunden oder etwa zwei Minuten. Somit dauert es nur zwei Minuten, um Jupiter um die Sonne zu folgen, wobei alle Störungen aller Planeten auf diese Weise auf einen Teil einer Milliarde korrigiert werden!

Sie müssen jedoch sorgfältig überlegen, was Sie aus den Simulationen zuverlässig ableiten können. Wenn Ihr Zeitschritt beispielsweise länger als einige hundert Sekunden ist, zeigt die Simulation eine Präzession in die entgegengesetzte Richtung zu der tatsächlich auftretenden an (dh rückläufig, wenn sie auftritt) sollte progressiv sein).