Ergibt eine in den 2D-Raum projizierte Kugel immer eine Ellipse?

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Meine Intuition war immer, dass, wenn eine Kugel in den 2D-Raum projiziert wird, das Ergebnis mathematisch immer eine Ellipse ist (oder ein Kreis in entarteten Fällen).

In der Vergangenheit, als ich aktiv meine eigene Grafikprogrammierung machte und mit anderen Leuten darüber sprach, waren sie überzeugt, dass ich falsch lag. Wenn ich mich richtig erinnere, glaubten sie, dass das Ergebnis etwas vage "eiförmiges" sein könnte.

Wer hat Recht?


Da es bereits eine Antwort gibt, möchte ich meine Frage nicht komplett ändern, aber mir ist klar, dass ich wichtige Details ausgelassen habe, weil ich über die Jahre die Vertrautheit mit dem Gebiet verloren habe.

Ich wollte speziell nach perspektivischer Projektion fragen, bei der die Projektion eine lineare Anwendung ist .

Die anderen Projektionen sind natürlich für viele Zwecke interessant, so dass ich sie an dieser Stelle nicht entfernen möchte. Aber es wäre großartig, wenn die Antworten eine perspektivische Projektion als wichtigsten Abschnitt hätten.

Hippietrail
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Unter der Annahme einer perspektivischen Projektion ist AFAICS die 'Grenze', die vom Horizont der Ansichtspunkte gebildet wird, ein (abgeschnittener) Kegel, und daher wird der größte Teil der Projektion ein Kegelabschnitt sein: en.wikipedia.org/wiki/Conic_section . Eine Ellipse ist also eine Möglichkeit, aber nicht die einzige.
Simon F
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In diesem Fall werde ich meine Kommentare zu einer Antwort befördern ...
Simon F
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Sie müssen eine Einschränkung hinzufügen. Fischauge ist auch eine perspektivische Projektion, und Sie werden keine Ellipsen bekommen. Die Bedingung, die Sie benötigen, ist Linearität.
v.oddou
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Ich würde eher so etwas wie "wo die Projektion eine lineare Anwendung ist" sagen. Es gibt vielleicht eine Abkürzung dafür, wie "linearer Epimorphismus" oder so, aber das habe ich lange vergessen.
v.oddou
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Dies sollte irgendwo in diesem Thread stehen, also füge es hier hinzu :) Inigo Quilezs analytische Kugelprojektion
Mikkel Gjoel

Antworten:

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Nimmt man eine perspektivische Projektion und einen Blickpunkt außerhalb der Kugel an, dann ist die 'Grenze', die durch den Blickpunkt und den Kreis auf der Kugel, der den Horizont bildet, als Blickpunkt definiert wird, ein Kegel.

Eine perspektivische Projektion (auf eine Ebene) ist dann gleichbedeutend damit, diesen Kegel mit der Ebene zu schneiden, wodurch ein Kegelschnitt entsteht. Zu Ihrer Information: Die vier nicht entarteten Fälle sind in diesem Bild aus Wikipedia dargestelltBildbeschreibung hier eingeben

Eine Ellipse / ein Kreis ist also eine Möglichkeit, aber nicht die einzige - unbegrenzte Parabel oder Hyperbel (und ich denke, wenn die Ebene durch das Auge geht, sind sogar entartete Fälle möglich).

Simon F
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Ich kann mir nicht vorstellen, wie das Ergebnis trotz der absoluten Logik Ihrer Argumentation eine Parabel oder Hyperbel sein könnte. Einige Worte, die klarstellen, welche Art von Layout dazu führen würde, wären großartig. Das Beste, was ich mit meinem Gehirn anfangen kann, ist "Irgendwie etwas mit Unendlichkeiten zu tun" ...
Hippietrail
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Vielleicht könnte etwas Äquivalentes helfen. Stellen Sie sich vor, Sie halten eine Fackel (Taschenlampe für Nordamerikaner) in der Hand, die einen Kegelstrahl erzeugt, und Sie befinden sich in einem dunklen, leeren (unendlichen) Lagerhaus. Wenn Sie die Fackel auf den Boden richten, sehen Sie eine Ellipse. Nun allmählich die Achse des Brenners zurück in Richtung der Horizontalen kippen. Die Ellipse wird immer länger, bis die oberste Kante des Balkens horizontal ist, dh parallel zum Boden. Jetzt ist die Projektion eine Parabel, die sich für immer erstreckt. Weiteres Kippen bildet eine Hyperbel.
Simon F
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@hippietrail: Es ist vielleicht erwähnenswert, dass Sie mit einer Ansichtsebene vor der Kamera nur dann eine Parabel oder eine Hyperbel erhalten können, wenn sich mindestens ein Teil der Kugel zwischen dem Brennpunkt und der Ansichtsebene befindet.
Ilmari Karonen
@IlmariKaronen: Was würde "Brennpunkt" in diesem Zusammenhang bedeuten? Auf welchen Punkt konzentriert sich das Auge? Der Fluchtpunkt? (Ich habe mir als 12- oder 13-Jähriger das Drehen und Projizieren von 3D-Perspektiven beigebracht und bin nie fließend mit Mathematik und Terminologie
umgegangen
@ Hippietrail Schwerpunkt in diesem Zusammenhang wäre die Spitze des Kegels. Tatsächlich das "Loch" des perspektivischen Lochkameramodells. (PS Bedeutet der Name, dass ich "eine fremde Frau" getroffen habe. Sie hat mich nervös gemacht.)
Simon F
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Dies ist eher ein langer Kommentar zu @ SimonFs Antwort, dass ich versuche, etwas eigenständiges zu machen.

Alle Kegelschnitte sind möglich, Hyperbel, Parabel und Ovale. Dies ist einfach zu testen, indem Sie Bilder in einer 3D-Engine mit einer extremen Weitwinkelkamera zeichnen. Drehen Sie die Kamera um 30 Grad, damit sich das Objekt nicht in der Mitte Ihres Fokus befindet. Bewegen Sie die Kamera dann allmählich näher an die Kugel.

Bildbeschreibung hier eingeben

Bild 1: Ganz in der Nähe einer Kugel fliegen, die leicht seitwärts schaut. Beachten Sie, wie wir plötzlich die Oberflächenform im Inneren durchstoßen.

Wenn die Kugel also sehr nah ist und das Bild in einem weiten Bild verlässt, kann es sich um eine Parabel oder eine Hyperbel handeln. Die Form verlässt jedoch nur den Rahmen, um dies zu tun.

joojaa
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Was wirklich schön sein könnte, ist, wenn Ihre Animation die Schattierung für die verschiedenen Ergebnisse ändern könnte: Sagen Sie Weiß für Ellipse, Grün (für den "einen Rahmen" der Parabel) und Rot für Hyperbel. :-)
Simon F
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@ SimonF Ich dachte darüber nach, ich plante etwas wie Nathan Reed. Aber ich hatte es ein bisschen eilig, ich hatte das Glück, diesen Render fertig zu bekommen. Anfangs war ich ein bisschen skeptisch, ob überhaupt eine Hyperbel vorhanden sein könnte, aber jetzt scheint es offensichtlich.
Joojaa
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Projektionssysteme werden verwendet, um eine 3D-Form in eine planare (2D) Form umzuwandeln.

Je nach Art des Projektionssystems können unterschiedliche Ergebnisse und Formen wie Rechtecke, Torten, Ellipsen, Kreise usw. aus einer Kugel erzeugt werden.

Projektionssysteme können anhand der Eigenschaften des von ihnen erzeugten Ergebnisses klassifiziert werden.

Um fortzufahren, möchte ich ein sehr berührbares und allgemeines Beispiel verwenden, das wir alle zuvor gesehen haben: Erdkugel- und weltweite Karten, sie sind überall.

Angenommen, Ihre Kugel ist die Erde!

Stellen Sie sich die Erde als Ihre Kugel und eine planare Weltkarte vor, die aus der Kugelform der Erde erstellt wird. Auf den meisten Weltkarten sehen Sie, dass die Länder in der Nähe der Pole viel größer werden als in der Realität, wie beispielsweise Island, das in Wirklichkeit 1/14 des afrikanischen Kontinents darstellt, aber auf der Karte sind beide gleich. Dies liegt daran, dass wir eine Eigenschaft unserer Formen verlieren, wenn wir eine Dimension weglassen.

Verschiedene Projektionssysteme und deren Ergebnisse

Dies ist eine ebene Projektion, bei der weder Abstand noch Winkel oder Fläche erhalten bleiben. Die roten Kreise zeigen den Betrag der Übertreibung, der das Produkt dieser Projektion ist.

Zuerst

Gleiche Fläche, schauen Sie sich Island und Afrika in diesem an und vergleichen Sie mit oben.

Zweite

Projektionssysteme können nach dem klassifiziert werden, was sie erhalten.

  1. Gleiche Fläche.
  2. Gleicher Winkel, der die Form ohne Verzerrung beibehält (konform).
  3. Gleicher Abstand.
  4. ......

Bei konformen Projektionen bleiben die Formen erhalten, aber der Bereich bleibt nicht erhalten (das erste Bild oben). Dies ist das bekannteste Projektionssystem, das in vielen Anwendungen verwendet wird. Deine Kugel ist hier ein Rechteck!


Man kann also nicht sagen, dass eine Kugel immer auf eine Ellipse projiziert wird. Wie oben erwähnt, kann eine Kugel auf ein Rechteck projiziert werden (erste Form) oder eine Ellipse mit unterschiedlichen Eigenschaften (gleicher Winkel, Abstand, Form, Fläche - siehe folgendes Bild), oder Sie projizieren eine Kugel in einen Kegel und dann öffnen Sie den Kegel, so dass Sie einen Kuchen haben.

Jedes der obigen Projektionssysteme kann mit iterativen oder direkten Algorithmen angewendet werden, die im Internet zu finden sind. Ich habe nicht über die Formel und Transformationen gesprochen, weil Sie nicht gefragt haben. Obwohl ich möchte, dass Sie diese Antwort nützlich finden.

Dritte


In perspektivischen Projektionen sage ich ja, es werden nur Ellipsen aus Kugeln erzeugt

Wenn Sie einen Kegel mit einer horizontalen Ebene schneiden, entsteht ein Kreis.

Wenn Sie mit einer schrägen Ebene schneiden, wird eine Abschrägung erzeugt, die je nach Schnittwinkel eine Ellipse oder eine Hyperbel ist. Wenn dieser Winkel vertikal ausgerichtet ist, wird eine Parabel erzeugt (folgendes Bild).

Ellipse

Vielleicht ist dies offensichtlich, aber werfen Sie einen Blick auf ihre Gleichungen.

Der Einfachheit halber habe ich angenommen, dass alle Geometrien herkunftszentriert sind.

Gleichungen:

x2+y2=r2

x2/ein2+y2/b2=1

x2/ein2-y2/b2=1

y2=4einx

Morphologie:

Eine Ellipse hat offensichtlich zwei Schwerpunkte. Ein Kreis als spezielle Art der Ellipse hat ebenfalls zwei Schwerpunkte, die jedoch zusammenfallen. Eine Hyperbel ist jedoch ein Achsenspiegel der gleichen Ellipse und hat auch zwei Brennpunkte. Eine Parabel hat einen Fokus, aber tatsächlich zwei, weil der zweite im Unendlichen liegt: Wenn die Schnittebene auf 90 Grad geneigt ist (Peilwinkel), geht der zweite Fokus ins Unendliche.

Fazit

Wie Sie sehen, sind alle Ellipsen, Sie können sie jedoch auch anders benennen, um Sonderfälle zu beschreiben. Wenn Sie sie jedoch in einem Spiel implementieren möchten, müssen Sie eine Ellipsengleichung annehmen, die ausreicht. Ich kann nicht sagen, wer von euch Recht hat, du oder dein Freund, weil beide Recht haben könnten.

Iman
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Danke für deine Antwort. Bitte beachten Sie meine Nachträge zur perspektivischen Projektion. Entschuldigung für dieses Versehen in meiner ursprünglichen Formulierung.
Hippietrail
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Ja, ich habe versucht, dies in meiner ursprünglichen Frage zu behandeln. Ich glaube, Punkte und Liniensegmente sind auch andere degenerierte Ellipsen.
Hippietrail
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@hippietrail: Die Erde ist eigentlich auch für perspektivische Projektionen ein hervorragendes Beispiel. Wenn Sie ein gewöhnliches Foto im Freien aufnehmen und die Kamera in Richtung Horizont richten, wird das Bild der Erde im Bild (ein Ausschnitt von) eine sehr breite Hyperbel.
Ilmari Karonen
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@IlmariKaronen: Wow das macht es super klar und verdient eine eigene Antwort! Würde es eine Version davon geben, die zu einer Parabel führen würde?
Hippietrail
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@hippietrail Ich füge am Ende meiner Antwort eine Erklärung hinzu und hoffe, dass sie neue Aspekte der bearbeiteten Frage beantworten kann. und danke für deine ergänzung.
Iman
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Die Überlegungen von SimonF haben mich grundsätzlich überzeugt, aber ich habe mich für eine Überprüfung der geistigen Gesundheit entschieden. Ich habe eine UE4-Ebene geladen, die zufällig einige Kugeln enthält, wie diese:

Bildbeschreibung hier eingeben

Ich habe das Sichtfeld der Kamera auf 160 Grad eingestellt, um eine starke perspektivische Verzerrung zu erzielen, und es so positioniert, dass sich die Kugel in der Nähe der Bildecke befindet:

Bildbeschreibung hier eingeben

Dann habe ich dies in Inkscape aufgenommen und mit dem Ellipsenwerkzeug gezeichnet:

Bildbeschreibung hier eingeben

Überraschung! Es ist eine perfekte Passform!

Nathan Reed
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Sehr schön illustrativ! Was halten Sie von der Bekämpfung von Parabel- und Hyperbelfällen?
Hippietrail
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@hippietrail Leider haben Vektorgrafiken keine Parabel- und Hyperbelwerkzeuge wie Ellipsenwerkzeuge, daher wäre es etwas schwieriger ... :)
Nathan Reed
@ NathanReed sicher, aber sie haben allgemeine Grafik-Tools, (wenn nicht, können Sie eine von mir bekommen) eine allgemeine Parabel grafisch darstellen und skalieren / drehen, um zu passen.
Joojaa
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Beim einmaligen Schneiden einer Kugel entstehen keine Parabeln oder Hyperbeln. Es gibt auch keine Ellipsen mit Ausnahme des Sonderfalls, bei dem es sich um einen Kreis handelt. Das Ergebnis ist immer ein Kreis. Wenn Sie die Kugel auf eine geneigte Ebene projizieren, erhalten Sie eine Ellipse

Liz
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Die anderen Antworten zeigen an, dass andere Formen als eine Ellipse möglich sind. Können Sie nachweisen, warum sie möglicherweise falsch sind?
Simon F