Gründe für die Annahmen für die Mikrofacettenverteilungsfunktion?

Das Papier Mikrofacettenmodelle für die Brechung durch raue Oberflächen (unter anderem) erinnert uns an die folgenden Annahmen über die Mikrofacettenverteilungsfunktion D:

1. Die Mikrofacettendichte ist positiv bewertet
2. Die gesamte Mikrooberfläche ist mindestens so groß wie die entsprechende Makrooberfläche
3. Die (vorzeichenbehaftete) projizierte Fläche der Mikrooberfläche ist für jede Richtung v dieselbe wie die projizierte Fläche der Makrooberfläche

Ich kann sehen, warum 1) eine Verteilungsdichte ein positiver Wert ist, und intuitiv glauben, dass 2) bedeutet, dass die Gesamtfläche von geneigten Mikrofacetten nicht kleiner als ihre Projektion sein kann.
Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob ich die Rechtfertigung für 3) verstehe. Was bedeutet die dritte Bedingung?

Es ist eine geometrische Annahme wie die beiden anderen. Betrachten Sie eine flache Makrooberfläche. Seine projizierte Fläche in einer beliebigen Richtung ist nur das fache seiner Fläche (wobei die Oberflächennormale ist). Insbesondere ist der Fall, in dem Sie es entlang der Normalen betrachten, am einfachsten: Die projizierte Fläche entspricht der Fläche der Oberfläche.v ˙ N $v$$v\dot\ \hat N$$\hat N$

Teilen Sie nun die Makrooberfläche in Mikrofacetten auf. Die Gesamtfläche der Mikrofacetten ist mindestens genauso groß (Annahme 2), aber jeder "Knick" in der Oberfläche biegt die Normalen der einzelnen Mikrofacetten von der ursprünglichen Normalen weg. Unabhängig von der Form der Mikrofacetten ändert sich die Summe ihrer projizierten Flächen nicht. In dem Fall, in dem Sie entlang der Normalen schauen, ist leicht zu erkennen, dass die gesamte projizierte Fläche gleich ist: Die Oberfläche müsste größer oder kleiner werden, damit sie sich ändert.

Für jede Richtung muss die Mikrofacette einen Teil der ursprünglich projizierten Fläche der Oberfläche bedecken. Durch Ändern der Ausrichtung der Mikrofacette, während dieser Teil noch gefüllt wird, wird die projizierte Fläche nicht geändert.

Es gibt einen schwierigen Fall, bei dem die Mikrofacetten übereinander stehen. In diesem Fall ist die Gesamtfläche größer, da ein Teil der Fläche von mehr als einer Mikrofacette bedeckt ist. In diesem Fall muss jedoch mindestens eine der Mikrofacetten von der Blickrichtung weg in die Oberfläche zeigen. In diesem Fall ist das Punktprodukt negativ, wodurch der von mehr als einer Mikrofacette abgedeckte Bereich aufgehoben wird. Aus diesem Grund wird im Text sorgfältig darauf hingewiesen, dass es sich um den signierten projizierten Bereich handelt.

Es gibt noch einen kniffligen Fall, bei dem sich die Mikrofacetten über die Silhouette des Objekts hinaus erstrecken. Dies kann vorkommen, wenn Sie aus sehr flüchtigen Winkeln schauen oder wenn überhängende Facetten außerhalb des Oberflächenumfangs überragen. In diesem Fall ist die projizierte Fläche der Mikrofacetten größer, was gegen die dritte Annahme verstößt. Wir betrachten diesen Fall im Allgemeinen nicht. Intuitiv stimmt es mit der Tatsache überein, dass Techniken wie Bump-Mapping die Form der Silhouette des Objekts nicht ändern.