Wenn

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Sagen Sie, L{0} . Wie können wir dann beweisen, dassL regelmäßig ist?

Wenn L regulär ist, dann ist natürlich auch L regulär. Wenn L endlich ist, dann ist es regulär und wieder ist L regulär. Ich habe auch bemerkt , dass für L={0pp is a prime} , L ist nicht regulär, L{0} und L regulär.

Aber wie zeigt man das für eine Teilmenge L von {0} ?

ChesterX
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Antworten:

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Es sei angenommen, dass zwei Wörter w 1 und w 2 enthält, so dass die Längen dieser Wörter, | w 1 | und | w 2 | , haben keine gemeinsamen Faktoren. Dann haben wir, dass das längste Wort, das nicht durch Verketten dieser Wörter gebildet werden kann, die Länge ( | w 1 | - 1 ) ( | w 2 | hatLw1w2|w1||w2| (Frobenius-Zahl) hat(|w1|1)(|w2|1)1). Das heißt, wenn es Wörter in der Sprache gibt, deren Längen keinen gemeinsamen Faktor haben, dann sind alle Wörter mit einer bestimmten minimalen Länge in der Sprache . Es ist leicht einzusehen, dass dies regelmäßig ist, da es unter der Myhill-Nerode-Ununterscheidbarkeitsrelation notwendigerweise eine begrenzte Anzahl von Äquivalenzklassen gibt.L

Was ist, wenn die Längen aller Wörter in einen gemeinsamen Faktor haben? Nun, es ist nicht schwer zu erkennen, dass L in solchen Fällen auch regelmäßig ist. Man beachte einfach, dass statt aller Wörter, deren Länge größer als eine minimale Länge in L ist, alle Wörter, deren Länge ein Vielfaches der GCD der Wortlängen ist, in L sind und keine Wörter, deren Länge ist sind keine Vielfachen dieser GCD werden, und da ( L k ) für jede ganze Zahl k regulär istLLLL(Lk)k regulär ist , ist auch regulär.L

Das ist ziemlich informell, aber alles, was Sie brauchen, um dies zu formalisieren, sollte hier sein.

Patrick87
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Die Grundidee ist, dass in einer Sprache, die auf einem Ein-Buchstaben-Alphabet basiert, jedes ausreichend lange Wort eine Verkettung kürzerer Wörter ist. Wenn Sie also ein Wort in L ∗ nehmen , dh eine Verkettung von Wörtern in L , gibt es einen Kern ˚ L, so dass w eine Verkettung von Wörtern in ˚ L ist . Also ist L = ˚ L . Es stellt sich heraus, dass ˚ L endlich ist, daher ist es und L wLLL˚wL˚L=L˚L˚L regelmäßig.

Lasse eine Teilmenge von seinen L und w einem Wort in L . w kann als eine Verkettung von Wörtern in L iff | ausgedrückt werden w | kann als eine Summe von Elementen von S N ausgedrückt werden, wobei S die Menge von Wortlängen in M ist . Daher reduziert sich das Problem auf das Ausdrücken einer Ganzzahl als Summe von Ganzzahlen in einer bestimmten Menge (wobei Wiederholungen zulässig sind): can | w | ausgedrückt werden als k 1 s 1 + + k m sMLwLwL|w|SNSM|w| mitk1s1++kmsm und k 1N ?i,siSk1N

Dies ist ein bekanntes Problem in der Arithmetik, und die Antwort lautet, dass, wenn die Koeffizienten negativ sein können ( k iZ ), | w | ausdrückbar ist genau dann , wenn es sich um ein Mehrfaches des größten gemeinsamen Teiler der Elemente ist S : gcd S . Bei einer Anforderung für nicht-negative Koeffizienten gilt dies noch für hinreichend großen | w | .(ki)kiZ|w|SgcdS|w|

Betrachten Sie die unendliche Folge definiert durch g i = gcd ( S [ 0 , i ] ) . Dies ist eine abnehmende Folge von ganzen Zahlen (beginnend mit g min S = min S , ist also nach einem bestimmten Index j konstant ; und g j = gcd S. Nach dem chinesischen Restsatz kann jedes Element von S als k 1 ausgedrückt werden s 1(gi)iminSgi=gcd(S[0,i])gminS=minSjgj=gcdSS miti , k iZ und { s 1 , , s m } = S [ 0 , j ] . Wenn x S und x s 1s mk1s1++kmsmi,kiZ{s1,,sm}=S[0,j]xSxs1sm ist, können Sie alle nicht negativen Koeffizienten auswählen.

Genug der Arithmetik. Sei . Jedes Wort in L kann als eine Verkettung von Wörtern in L ausgedrückt werden, deren Länge höchstens g j beträgt , dh L ˚ L . Da wir auch ˚ LL haben , haben wir L = ˚ L , was regulär ist, da ˚ L endlich und daher regulär ist.L˚={wL|w|gj}LLgjLL˚L˚LL=L˚L˚


Verwenden Sie alternativ die Charakterisierung regulärer Sprachen in Alphabeten mit einem Buchstaben .

Gilles 'SO - hör auf böse zu sein'
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