Wortfaktorisierung in

Wenn zwei Zeichenfolgen $S_1, S_2$ , schreiben wir $S_1S_2$ für ihre Verkettung. Bei einer Zeichenkette $S$ und Integer $k\geq 1$ , wir schreiben $(S)^k = SS\cdots S$ für die Verkettung von $k$ Kopien von $S$ . Wenn wir nun einen String haben, können wir ihn mit dieser Notation 'komprimieren', dh $AABAAB$ kann geschrieben werden als $((A)^2 B)^2$ . Nennen wir das Gewicht einer Komprimierung die Anzahl der Zeichen, die darin vorkommen, sodass das Gewicht von $((A)^2 B^2)$ zwei und das Gewicht von $(AB)^2 A$ (eine Komprimierung von $ABABA$ ) ist. ist drei (separate $A$ werden separat gezählt).

Betrachten Sie nun das Problem, die 'leichteste' Komprimierung eines gegebenen Strings $S$ mit $|S|=n$ berechnen S | = n . Nach einigem Nachdenken gibt es einen offensichtlichen dynamischen Programmieransatz, der in $O(n^3 \log n)$ oder O ( n 3 ) abläuft.$O(n^3)$ je nach genauem Ansatz .

Mir wurde jedoch mitgeteilt, dass dieses Problem in $O(n^2 \log n)$ gelöst werden kann , obwohl ich keine Quellen dazu finde. Insbesondere wurde dieses Problem in einem kürzlich durchgeführten Programmierwettbewerb (Problem K hier , letzte zwei Seiten) angegeben. Während der Analyse wurde ein $O(n^3 \log n)$ -Algorithmus vorgestellt, und am Ende wurde die pseudoquadratische Grenze erwähnt ( hier bei der Vier-Minuten-Marke). Leider bezog sich der Moderator nur auf 'ein kompliziertes Wortkombinatorisches Lemma', und jetzt bin ich hierher gekommen, um nach der Lösung zu fragen :-)

If I'm not misunderstanding you, I think the minimum cost factorization can be calculated in $O(n^2)$ time as follows.

For each index i, we will calculate a bunch of values $(p_i^\ell, r_i^\ell)$ for $\ell=1,2,\ldots$ as follows. Let $p_i^1\ge 1$ be the smallest integer such that there is an integer $r\ge 2$ satisfying

Let $p_i^2$ be the smallest integer strictly bigger than $(r_i^1-1)p_i^1$ satisfying, likewise,

Note that for each index i, we have $L_i=O(\log (i+1))$ due to $p_i^\ell$ values increasing geometrically with $\ell$. (if $p_i^{\ell+1}$ exists, it's not just strictly bigger than $(r_i^\ell-1)p_i^\ell$ but bigger than that by at least $p_i^\ell/2$. This establishes the geometric increase.)

Suppose now all $(p_i^\ell,r_i^\ell)$ values are given to us. The minimum cost is given by the recurrence

$$\mathrm{dp}(i,j) = \min\left\{\mathrm{dp}(i, j-1) + 1, \min_\ell \left(\mathrm{dp}\left(i,j - r_j^\ell p_j^\ell\right) + \mathrm{dp}(j-r_j^\ell p_j^\ell+1,j-p_j^\ell)\right)\right\}$$ with the understanding that for $i>j$ we set $\mathrm{dp}(i,j) = +\infty$. The table can be filled in $O(n^2 + n\sum_j L_j)$ time.

We already observed above that $\sum_j L_j = O(\sum_j \log (j+1)) = \Theta(n\log n)$ by bounding the sum term by term. But actually if we look at the whole sum, we can prove something sharper.

Consider the suffix tree $T(\overleftarrow{S})$ of the reverse of $S$ (i.e., the prefix tree of S). We will charge each contribution to the sum $\sum_i L_i$ to an edge of $T(\overleftarrow{S})$ so that each edge will be charged at most once. Charge each $p_i^j$ to the edge emanating from $\mathrm{nca}(v(i), v(i-p_i^j))$ and going towards $v(i-p_i^j)$. Here $v(i)$ is the leaf of the prefix tree corresponding to $S[1..i]$ and nca denotes the nearest common ancestor.

This shows that $O(\sum_i L_i)=O(n)$. The values $(p_i^j,r_i^j)$ can be calculated in time $O(n+\sum_i L_i)$ by a traversal of the suffix tree but I will leave the details to a later edit if anyone is interested.

Let me know if this makes sense.

There is your initial string S of length n. Here is the pseudo-code of the method.

next_end_bracket = n
for i in [0:n]: # main loop

    break if i >= length(S) # due to compression
    w = (next_end_bracket - i)# width to analyse

    for j in [w/2:0:-1]: # period loop, look for largest period first
        for r in [1:n]: # number of repetition loop
            if i+j*(r+1) > w:
                break r loop

            for k in [0:j-i]:
                # compare term to term and break at first difference
                if S[i+k] != S[i+r*j+k]:
                    break r loop

        if r > 1:
            # compress
            replace S[i:i+j*(r+1)] with ( S[i:i+j] )^r
            # don't forget to record end bracket...
            # and reduce w for the i-run, carrying on the j-loop for eventual smaller periods. 
            w = j-i

I intentionally gave little details on "end brackets" as it needs lot of steps to stack and unstack which would let the core method unclear. The idea is to test an eventual further contraction inside the first one. for exemple ABCBCABCBC => (ABCBC)² => (A(BC)²)².

So the main point is to look for large periods first. Note that S[i] is the ith term of S skipping any "(", ")" or power.

• i-loop is O(n)
• j-loop is O(n)
• r+k-loops is O(log(n)) as it stops at first difference

This is globally O(n²log(n)).